Теореми заміщення і анулювання

Теорема (заміщення). Сума добутків алгебраїчних доповнень будь якого рядка (стовпця) на довільні числа дорівнює новому визначнику, в якому цими числами заміщені відповідні елементи початкового визначника, що відповідають даним алгебраїчним доповненням.

Наприклад,

де - алгебраїчні доповнення елементів першого стовпця початкового визначника:

Теорема (анулювання). Сума добутків елементів одного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Наприклад,

Дійсно, за теоремою про заміщення ліва частина виразу дасть новий визначник з двома однаковими стовпцями.

Приклад

Для визначника

а) Знайти алгебраїчні доповнення всіх його елементів.

б) Перевірити теорему про розклад для всіх трьох стовпців.

в) Перевірити теорему про анулювання для алгебраїчних доповнень елементів І-го рядка та відповідних елементів ІІ-го рядка, а тоді для елементів ІІІ-го рядка.

Розв’язання

а) Часто подібні результати зручно записувати у вигляді таблиці (матриці):

б)

в)

Вправи