Методика и алгоритм метода теории игр

Использование аппарата теории игр дает возможность достаточно просто выбрать рациональный путь поиска оптимального решения. Предметом теории игр является сама идея оптимальности. Сформулируем основной принцип теории игр - принцип минимакса: поступай так, чтобы при самых наихудших ситуациях, получить наилучший результат.

Пусть у нас имеются m возможных стратегий А₁, А₂,..., А_m активного игрока–технолога А, определяющих правила его поведения при определенных ситуациях, а у технологического процесса- «природы» имеются также n возможных стратегий B₁, B₂,..., B_n, определяющих появление каких-либо факторов, изменяющихся с некоторой случайностью. Обозначим a_ij выигрыш в случае, если используется игроком А стратегия А_i, а противником - стратегия B_j. Количественным выражением выигрыша может быть определенный показатель качества, например процент брака изделия, конкретное физико-механическое свойство. В том случае, если выигрыш для каждой пары стратегий А_i и B_j известен, то составляется прямоугольная таблица (матрица), в которой перечислены стратегии игроков и соответствующие им выигрыши. Если такая таблица составлена, то игра приведена к матричной форме и многоходовая игра практически сведена к одноходовой - от игрока требуется сделать только один ход: выбрать стратегию.

Активный игрок (сторона А) имеет m возможных стратегий, позволяющих воздействовать на технологический процесс, т.е. изменять технологические режимы. Сторона В (технологический процесс – “природа”) имеет также n стратегий, определяющих появление каких-либо факторов с неопределенной вероятностью, влияющих на технологический процесс: природа исходных материалов, сырья и т.д.

Рассмотрим пример игры с «природой» G (4х4) в матричной форме. Для каждой пары стратегий А_i и B_j выигрыш известен и представлен комплексным показателем (таблица 1).

Платежная матрица игры G(4х4)

таблица 1

B j A i	B 1	B 2	B 3	B 4	αi
A 1					40
A 2
A 3
A 4
βj				50

Если применять к данному примеру аппарат теории игр, то добавим к таблице столбец α_i и строку β_j. В столбец сносятся наихудшие значения соответствующей строки для игрока А (наименьшие значения). В добавочную нижнею строку сносятся наихудшие значения соответствующего столбца для игрока В (наибольшие значения).

Согласно основного принципа теории игр предлагается стратегия А₁, но это не является окончательным решением, т.к. в большинстве случаев требуется, чтобы свойства отвечали какому-то среднему уровню значений. Так например, в нашем случае, комплексный показатель должен равен 45.

Следовательно, предлагаемую матрицу необходимо преобразовать, используя в качестве выигрыша другой параметр, например, модуль отклонения имеющихся значений от установленного значения (=45). В каждом конкретном случае оптимальное значение выбирается индивидуально с учетом реальных условий, чаще всего исходя из практических данных.

Преобразуем исходную матрицу, заполняя в соответствующие ячейки новые значения выигрыша (таблица 2). Матрица дополняется правым добавочным столбцом a_i, и добавочной нижней строкой b_j. В столбец сносятся наихудшие значения соответствующей строки для игрока А (в этом случае наибольшие значения). В добавочную нижнею строку сносятся наихудшие значения соответствующего столбца для игрока В (наименьшие значения).