Тема 1 Элементы линейной алгебры

Образцы решения заданий

Пример 1. Найти ранг матрицы

Решение.

Приведем матрицу А к каноническому виду путем элементарных преобразований. Прибавляя к элементам первого столбца элементы третьего, а из элементов третьего вычитая элементы второго столбца соответственно, получим

А ~ .

Умножим элементы первого столбца на , затем вычтем из элементов третьей строки элементы первой строки соответственно:

А ~ ~ .

Из элементов третьей строки вычтем элементы второй, умноженные на 4, а затем к элементам второго и третьего столбцов прибавим элементы первого столбца, умноженные соответственно на 3 и на 1:

А ~ ~ .

Таким образом, ранг матрицы А равен 2.

Пример 2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Решение.

Рассмотрим минор первого порядка , следовательно, ранг матрицы .

Далее рассмотрим минор второго порядка: , т.к. минор второго порядка отличен от нуля, то . Найдем значение минора третьего порядка:

, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. .

Пример 3. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений

(1)

Решение.

Вычислим определитель системы

Так как Δ ≠ 0, то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Для этого найдем :

Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получим искомое решение системы: .

Пример 4. Найти решение системы примера 3 с помощью обратной матрицы.

Решение.

Здесь

Так как определитель матрицы системы отличен от нуля: |A|=-26, то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы . Транспонированная матрица имеет вид:

Матрица , обратная к матрице А имеет вид

Проверим правильность вычисления , исходя из определения обратной матрицы и используя формулу :

Матричное решение системы имеет вид

откуда следует (из условия равенства двух матриц), что .

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Здесь

Расширенная матрица системы имеет вид

Выполним прямой ход метода Гаусса.

Шаг 1. Для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:

Так как , то умножая первую строку на (-2) и на (-1) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй и третьей строкам, исключим переменную из всех строк, начиная со второй: