Уравнения с разделяющимися переменными

Если ДУ−I имеет вид: Р (х) dx + Q (y) dy =0, в котором Р зависит только от х, а Q зависит только от у, то оно является ДУ−I с разделёнными переменными.

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными представляется уравнением:

Если ДУ−I имеет вид: X ₁ Y ₁ dy + X ₂ Y ₂ dx =0, в котором X ₁ и X ₂ зависят только от х, а Y ₁ и Y ₂ зависят только от у, то оно является ДУ−I с разделяющимися переменными и приводится к ДУ−I с разделёнными переменными. Процесс приведения называется разделением переменных.

Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

у ′ у = x Итак, , где C = const – общее решение уравнения. Найдём частное решение этого уравнения удовлетворяющее начальным условиям (решим задачу Коши): у ′ у = x, х 0=2, у 0=0 Получим . Итак, – частные решения уравнения, удовлетворяющие заданным условиям.	у′cosx - ysinx =0 Итак, , где C = const – общее решение уравнения.
у ′=-2 xу	у ′=- у 2

Линейное ДУ−I порядка (ЛДУ−I)

Пусть ДУ−I имеет вид: Мdx + Ndy =0 – оно называется ЛДУ−I, если отношение ^M/_N содержит у лишь в первой степени. ЛДУ−I принято записывать в виде у ¢+ Р (x) у = Q (x) где Р (x) и Q (x) непрерывные функции от х.

· Если Q (x)=0, то уравнение принимает вид у ¢+ Р (x) у =0 и оно называется ЛОДУ−I или линейным уравнением без правой части. В этом случае оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

· Если Q (x)≠0, то уравнение называется ЛНДУ−I или линейным уравнением с правой части. В этом случае его можно решить методом Бернулли или методом Лагранжа.

Метод Бернулли.

Решение уравнения у ¢+ Р (x) у = Q (x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y = u · v, где u (x) и v (x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна, но не равна нулю, пусть v ≠0.

y = u · v

y ¢= u ¢· v + u · v ¢

Подставляя выражения у и у ¢ в заданное уравнение получаем:

u ¢· v + u · v ¢+ Р (x)· u · v = Q (x)

или

u ¢· v + u ·(v ¢+ Р (x)· v)= Q (x).

Подберём функцию v так, чтобы v ¢+ Р (x)· v =0, то есть решим u ¢· v = Q (x) – уравнение с разделяющимися переменными. Ввиду свободы выбора функции v примем в решении данного уравнения постоянную за 0.

Отыскав функцию v, подставим её в заданное уравнение и отыщем вторую функцию u.

Запишем окончательный ответ в виде: y = u · v.