Практическая работа № 1

Тема: Решение задач на выполнение теоретико–множественных

операций

Цели работы:

1) научиться задавать множества различными способами;

2) научиться выполнять операции над множествами;

3) научиться применять к решению задач диаграммы Венна (круги Эйлера);

4) научиться проверять теоретико–множественные соотношения с помощью свойств операций;

Пояснения:

Множеством называется совокупность объектов, объединенных по какому – либо признаку или свойству.

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С,..., а элементы множеств – малыми латинскими буквами: a, b, c,... или а_1, а₂, а₃,....

Число элементов множества А называется мощностью множества и обозначается | А | или n (А).

Способы задания множеств:

1) Множество может быть задано перечисления (указания) всех его элементов, заключенных в фигурные скобки. Например, запись А = задает множество А, которое состоит из трех элементов чисел 1, 5, 7.

2) Множество может быть задано с помощью свойства, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству. Например, М = {n |n ∈ N, n < 5} означает: множество М составляют только те натуральные числа, что меньше пяти.

3) Множества и соотношения на них представляются наглядно с помощью диаграмм Эйлера – Венна. На этих диаграммах любые множества изображаются кругами, пересекающими друг друга, элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству (а ∈ М), и точками вне круга, если они множеству не принадлежат (b ∉ М). Универсальное множество изображается в виде прямоугольника.

Множество К называется подмножеством множества М (К Ì М), если для любого х ∈ К выполняется х ∈ М.

Таблица 1 – Основные операции над множествами

Название операции	Обозначение	Изображение кругами Эйлера	Определение	Символические данные
Пересечение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат одновременно A и B
Объединение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В
Разность множеств			Те и только те элементы множества А, которые не принадлежат В
Дополнение к множеству А			Те и только те элементы, которые не принадлежат множеству А (т.е. дополняют его до универсального U)
Симметрическая разность			Те и только те элементы, которые принадлежат одному из множеств: А либо В, но не являются общими элементами

Свойства операций над множествами:

Пусть задано универсальное множество U. Тогда A, B, C U выполняются следующие свойства

1.	идемпотентность:
,	;
2.	коммутативность:
,	;
3.	ассоциативность:
,	;
4.	дистрибутивность:
,	;
5.	поглощение:
,	;
6.	свойства нуля:
,	;
7.	свойства единицы:
,	;
8.	инволютивность:
;
9.	законы де Моргана:
,	;
10.	свойства дополнения:
,	;
11.	выражение для разности:
.

Оборудование, аппаратура, материалы и их характеристики: персональные компьютеры с лицензионным программным обеспечением; доска, маркеры; рабочие тетради; раздаточный материал.

Порядок выполнения работы:

Студенты получают задания по вариантам. Метод решения выбирается студентами самостоятельно и зависит от приобретенных в процессе обучения навыков. В процессе выполнения практической работы преподаватель проводит как групповые, так и индивидуальные консультации по вопросам дополнительного разъяснения отдельных понятий и аспектов изученных тем, задания и оформления отчета.

1. Укажите множество действительных чисел, соответствующее записи:

Таблица 2 – Задание № 1

№ варианта	Исходные данные
	а) A = ; б) B = .
	а) A = ; б) B = .
	а) A = ; б) B = .
	а) A = ; б) B = .
	а) A = ; б) B = .
	а) A = ; б) B = .
	а) A = ; б) B = .
	а) A = ; б) B = .
	а) A = ; б) B = .
	а) A = ; б) B = .

2. Задайте характеристическим свойством множество всех:

Таблица 3 – Задание № 2

№ варианта	Исходные данные
	параллелограммов;
	квадратов;
	треугольников;
	прямоугольников;
	ромбов;
	трапеций;
	векторов;
	параллельных прямых;
	окружностей;
	равнобедренных треугольников.

3. Задать различными способами множество М всех положительных чисел:

Таблица 4 – Задание № 3

№ варианта	Исходные данные
	кратных 7 и не превышающих 70.Задать в явном виде (списком) множество Р(М) всех подмножеств множества М. Какова мощность множества Р(М)?
	кратных 6 и не превышающих 30. Задать в явном виде (списком) множество Р(М) всех подмножеств множества М. Какова мощность множества Р(М)?
	кратных 8 и не превышающих 40. Задать в явном виде (списком) множество Р(М) всех подмножеств множества М. Какова мощность множества Р(М)?
	кратных 9 и не превышающих 30. Задать в явном виде (списком) множество Р(М) всех подмножеств множества М. Какова мощность множества Р(М)?
	кратных 10 и не превышающих 50. Задать в явном виде (списком) множество Р(М) всех подмножеств множества М. Какова мощность множества Р(М)?
	являющихся степенями числа 3 и не превышающих 100. Задать в явном виде (списком) множество Р(М) всех подмножеств множества М. Какова мощность множества Р(М)?
	являющихся степенями числа 4 и не превышающих 200. Задать в явном виде (списком) множество Р(М) всех подмножеств множества М. Какова мощность множества Р(М)?
	являющихся степенями числа 5 и не превышающих 200. Задать в явном виде (списком) множество Р(М) всех подмножеств множества М. Какова мощность множества Р(М)?
	являющихся степенями числа 6 и не превышающих 300. Задать в явном виде (списком) множество Р(М) всех подмножеств множества М. Какова мощность множества Р(М)?
	являющихся степенями числа 7 и не превышающих 300. Задать в явном виде (списком) множество Р(М) всех подмножеств множества М. Какова мощность множества Р(М)?

4. Даны множества , , . Найдите следующие множества, определите мощность полученных множеств и изобразите их кругами Эйлера.

Таблица 5 – Задание № 4

№ варианта	Исходные данные
	а) б)
	а) б)
	а) б)
	а) б)
	а) б)
	а) б)
	а) б)
	а) б)
	а) б)
	а) б)

5. Найдите следующие множества:

а) X ∩Y;

б) (X \Y) È (Y \ Z);

в) X ∩(Y∩Z);

г) X È (Y∩Z).

д) (X ÈY) \ (X ÈZ);

Таблица 6 – Задание № 5

№ варианта	Исходные данные
	U = {a, b, c, d, e, f}, X ={a, b, c}, Y = {b, c, d}, Z = {a, c, e}.
	U = {a, b, c, d, e, f}, X = {a, c, f}, Y = {b, f}, Z = {a, b, e}.
	U = {a, b, c, d, e, f}, X = {a, b, f}, Y = {a, f}, Z = {a, b, e}.
	U = {a, b, c, d, e, f}, X = {a, b}, Y = {a, c, d}, Z = {b, c, d, e}.
	U = {a, b, c, d, e, f, g}, X = {a, b, d},Y = {b, d, e, f}, Z = {a, b, e}.
	U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, X = {1, 2, 3}, Y = {2, 3, 6, 7}, Z = {1, 2, 4}.
	U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, X = {1, 2, 3, 4}, Y = {2, 3, 7}, Z = {1, 2, 4, 5}.
	U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, X = {2, 3, 4}, Y = {2, 3, 6, 7}, Z = {1, 2, 4, 7}.
	U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, X = {1, 2, 3},Y = {2, 3, 6, 7}, Z = {1, 2, 4}.
	U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, X = {2, 3, 4},Y = {2, 3, 7}, Z = {1, 2, 4, 6}.

6. Решите систему соотношений относительно множества Х и укажите условия совместности системы.

Таблица 7 – Задание № 6

№ варианта	Исходные данные

Требования к отчету: Отчет должен содержать:

- название практической работы;

- формулировку цели работы;

- краткие теоретические сведения по теме работы в виде таблиц, графиков, диаграмм, схем, рисунков и формул;

- результаты решения заданий;

- выводы по работе;

- краткие письменные ответы на контрольные вопросы.

Текст отчета набирается на компьютере. Допускается тип шрифта Times New Roman, размер 12 – 14, межстрочный 1,5 интервал, выравнивание текста по ширине странице, абзацный отступ 1,25.

Контрольные вопросы:

1) Что такое множество? Как обозначают пустое множество, универсальное?

2) Запишите множества натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел.

3) Дайте определение подмножества.

4) Какие множества называются равными?

5) Дайте определение объединению, пересечению, дополнению, разности двух множеств.

6) Что означает выражение «декартово произведение множеств»? Покажите на своем примере.

Учебная и специальная литература:

1) Спирина М.С., Спирин В.В. Дискретная математика: Учебник. – М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 370 с.

2) Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для высш. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 304 с.

3) Тишин В.В. Дискретная математика в примерах и задачах. – СПб.: БХВ – Петербург, 2008. – 352 с.