Основные теоретические сведения по теории вероятностей и математической статистике

1. При классическом определении вероятность события А определяется соотношением

Р(А)= ,

где m — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А, а n — общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы единственновозможны и равновозможны.

Относительная частота события А есть W(A)= ,

где n — число испытаний, в которых событие А наступило, а m — общее число произведенных испытаний.

При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

2. Схема испытаний Бернулли (повторение опытов). Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<р<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), есть

P_n(k)= p^kqⁿ^-^k, где q=1-p. (1)

Вероятность того, что событие наступит:

а) менее k раз: P_n(0)+ P_n(1)+….+ P_n(k-1),

б) более k раз: P_n(k+1)+ P_n(k+2)+….+ P_n(n),

в) не менее k раз: P_n(k)+ P_n(k+1)+….+ P_n(n ),

г) не более k раз: P_n(0)+ P_n(1)+….+ P_n(k).

3. Если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), выражается приближенным равенством

P_n(k)= , где x= . (2)

Функция чётная, т.е. .

При х>5 можно считать, что

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, выражается приближенным равенством

P_п(k₁;k₂)=Ф(х₂)- Ф(х₁), (3)

где Ф(х)= dt - функция Лапласа; x₁= .

При х>5 полагают Ф(x)=0,5. Функция Лапласа — четная, т. е. Ф(-х)= -Ф(х); Ф(0)=0.

4. Нормальным распределением называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность распределения которого имеет вид: f(x)= ,

где m — математическое ожидание, а σ — среднее квадратическое отклонение величины X.

Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу (α,β) составляет:

P(α<x<β)=Ф( )- Ф( ), (4)

где Ф (x) — функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ, выражается равенством: P( δ)=2Ф( ). (5)

5. Если линия регрессии Y на X — прямая, то корреляцию называют линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид:

(6)

где =

Если данные наблюдения над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам:

u_i = ,

где С₁ | — ложный нуль вариант X (в качестве его выгодно принять варианту, расположенную примерно в центре вариационного ряда и имеющую наибольшую частоту); — шаг, т. е. разность