Матричный метод решения систем линейных уравнений

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором

C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример 2.15. Решить матричным способом систему уравнений

x₁ - x₂ + x₃ = 6,

2x₁ + x₂ + x₃ = 3,

x₁ + x₂ +2x₃ = 5.

Решение. Обозначим

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку ,

то матрица A невырожденная и поэтому имеет обратную:

.

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A^-1B. В данном случае

и, следовательно,

.

Выполняя действия над матрицами, получим:

x₁ = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1,

x₂ = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x₃ = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Ответ: (1, -2, 3)