Метод Жордана-Гаусса

Виписуємо розширену матрицю системи (1.13) і приводимо її до діагонального вигляду:

З останнього рядка випливає, що 4 x ₃ = 8 Þ x ₃ = 2. Підставляючи у передостаннє рівняння x ₃ + 2 × 2 = 8 Þ x ₂ = 4. Нарешті x ₃ та x ₂ підставляємо у перше рівняння: 2 x ₁ + 2 × 4 + 3 × 2 = 17 Þ x ₁ = 17 – 14 = 3.

Відповідь. Для годування тварин щоденно потрібно корму І-го типу – 3 кг, ІІ-го типу – 4 кг і ІІІ-го типу – 2 кг. При цьому вартість годування складатиме 39 грн.

Завдання №2

Скласти математичну модель та розв’язати її трьома способами: Крамера, Жордана-Гаусса та зворотної матриці. Записати економічний зміст одержаного розв’язку.

1. На промисловому комплексі по виробництву м'яса відгодовують свиней трьох порід. Усі дані представлені в таблиці.

Вид корму	Запаси корму	Необхідна кількість корму (ц) для породи свиней
ранньостиглої (до 1 року)	середньостиглої (до 1,5 років)	пізньостиглої (до 2 років)
Грубі (сінне борошно, трав’ян.) Комбікорм Соковиті (коренеплоди, картопля)
Вартість відгодівлі, грн.

Потрібно знайти поголів'я свиней кожної породи з урахуванням запасів корму і витрати на їхнє вирощування.

2. Для виготовлення взуття трьох моделей на фабриці використовується два сорти шкіри. Ресурси матеріалу, витрати праці і матеріалу для виготовлення кожної пари взуття, а також прибуток від реалізації одиниці продукції приведені в таблиці.

Ресурси	Запас ресурсів	Витрати ресурсів на одну пару взуття за моделями
№1	№2	№3
Робочий час, люд-год Шкіра І сорту Шкіра ІI сорту
Прибуток, грн.

Знайти кількість продукції з урахуванням запасів і прибуток, одержуваний від виробництва.

3. Нафтопереробний завод одержує три напівфабрикати: 400 тис. л алкілату, 250 тис. л крекінг-бензину і 450 тис. л ізопентону. В результаті змішування цих трьох компонентів у співвідношенні 2:1:2 утворюється бензин А-93 вартістю 1200 грн. за 1 тис. л, у співвідношенні 3:1:3 – бензин А-76 вартістю 1000 грн. за 1 тис. л, у співвідношенні 2:2:3 – бензин А-95 вартістю 1500 грн. за 1 тис. л. Знайти кількість бензину кожної марки з урахуванням запасів напівфабрикатів і вартість випущеної продукції.

4. Знайти поєднання посівів 3-х культур: пшениці, гречки та картоплі і прибуток від вирощеної продукції. Ефективність оброблення названих культур (у розрахунку на 1 га) характеризується показниками, значення яких приведені в таблиці.

Показники	Пшениця	Гречка	Картопля
Врожайність, ц Витрати праці механізаторів, люд.-днів Витрати кінно-ручної праці, люд.-днів	0,5 0,5
Прибуток від реалізації 1 ц продукції, грн.

Виробничі ресурси: 6000 га ріллі, 4800 люд.-днів праці механізаторів, 9000 люд.-днів кінно-ручної праці.

5. Для вантажних перевезень створюється автоколона. На придбання автомашин виділено 600 тис. грн. Можна замовити машини 3-х марок – А, Б і В, які характеризуються даними приведеними в таблиці. Кількість машин повинна дорівнювати 32, а загальне число водіїв у автоколоні повинне бути 60 осіб.

Марка автомашини	Вартість машини, тис. грн.	Кількість водіїв, що обслуговують машину за зміну	Продуктивність машини за зміну, т/км
А Б С

Визначити кількість автомашин кожної марки і знайти продуктивність (т/км) автоколони в розрахунку на одну добу.

6. Нехай господарство має 850 гектарів землі, 15 тисяч тонн органічних добрив і 35 тисяч людино-днів. Є насіння картоплі, капусти та багаторічних трав. Знайти розподіл наявної землі і визначити прибуток господарства з урахуванням того, що кожний гектар землі під капустою принесе 1000 грн доходу, картоплі 800 грн, а багаторічних трав 200 грн. Витрати праці на оброблення одного гектара капусти, картоплі і багаторічних трав дорівнюють відповідно 50, 30 і 15 людино-днів. Витрати органічних добрив на ті ж культури дорівнюють 20, 15 і 10 тоннам на гектар.

7. На звірофермі можуть вирощуватися чорно-бурі лисиці, норки та песці. Для забезпечення нормальних умов їхнього вирощування використовується три види кормів. Кількість корму кожного виду, що повинні щодня одержувати тварини, приведена в таблиці. В ній же зазначені загальна кількість корму кожного виду, що може бути використано звірофермою, і прибуток від реалізації однієї шкурки хутрового звірка.

Вид корму	Кількість од. корму, що повинні одержувати	Загальна кількість корму
лисиця	норка	песець
I II III
Прибуток від реалізації однієї шкурки (грн)

Визначити скільки лисиць, норок і песців можна вирощувати на звірофермі і прибуток від реалізації їхніх шкурок.

8. З трьох видів сировини необхідно скласти суміш, до складу якої повинно входити 21 одиниць хімічної речовини А, 42 одиниць – речовини В і 36 одиниці – речовини С. Кількість одиниць хімічної речовини, що міститься в 1 кг сировини кожного виду, зазначено в таблиці. У ній же приведена ціна 1 кг сировини кожного виду.

Речовина	Кількість одиниць речовини, що міститься в 1 кг сировини виду

А В С		–
Ціна 1 кг сировини (грн)

Скласти суміш, що містить задану кількість речовин даного виду і визначити її вартість.

9. Припустимо, що підприємство виробляє кілька видів цукерок A, B і C. Відомо, що реалізація 10-и кілограм цукерок А дає прибуток 9 грн., В – 10 грн. і С – 16 грн. Норми витрати сировини на виробництво 10 кг цукерок кожного виду приведені в табл.

Сировина	Норми витрат сировини	Запас сировини
А	В	С
Какао
Цукор
Наповнювач
Прибуток

Цукерки можна виробляти в будь-яких кількостях (збут забезпечений), але запаси сировини обмежені. Необхідно визначити, скільки десятків кілограм цукерок необхідно зробити і знайти прибуток від їхньої реалізації.

10. Для підтримки нормальної життєдіяльності людині щодня необхідно споживати 130 г білків, 60 г жирів і 500 г вуглеводів. Кількість живильних речовин, що містяться в 1 кг кожного виду продуктів, а також ціна 1 кг кожного з цих продуктів приведені в таблиці.

Живильні речовини	Зміст (г) живильних речовин у 1 кг продуктів
м’ясо	молоко	картопля
Білки Жири Вуглеводи	–
Ціна 1 кг продуктів (грн.)	1,8	0,28	0,1

Скласти денний раціон, що містить добову норму потреби людини в необхідних живильних речовинах і знайти загальну вартість споживаних продуктів.

§5. Застосування похідної в економіці. Використання поняття
екстремуму функції в економічних задачах

11. Економічний зміст похідної. Література: [10], розд. ІІ, §19-21, стор. 110-121.

Якщо на момент часу t ₀ виробник виготовив f (t ₀) одиниць продукції, то відношення , де D f – приріст випущеної продукції за час D t, називають середньою продуктивністю праці виробника за час D t, а границю

(1.14)

– продуктивністю праці виробника в момент часу t ₀.

Якщо функція y = С (x) виражає залежність витрат виробництва y від кількості випущеної продукції x, то C ¢(x) – граничні (маргінальні) витрати виробництва, що характеризують додаткові витрати на виготовлення одиниці випущеної продукції. Аналогічно означають граничний дохід і граничний прибуток, якщо функція y = f (x) виражає відповідну залежність доходу чи прибутку від кількості випущеної продукції.

У випадках, коли треба обчислювати відсоток приросту (відносний приріст) залежної змінної, що відповідає відсотку приросту незалежної змінної, тоді використовують поняття еластичності функції (відносної похідної), тобто еластичність функції y = f (x) відносно аргументу x обчислюється за формулою:

. (1.15)

Чисельно еластичність E_x (y) дорівнює приблизному відсотковому приросту функції (підвищення або зниження), відповідному приросту незалежної змінної на 1%.

Наслідок. З формули (1.15) можна одержати ще одну економічну величину, що характеризує виробництво: , де темп зміни функції:

T_y = (ln y)¢. (1.16)

Приклад №6 Нехай споживання залежить від національного доходу так
C = 0,01 у ² + 0,2 у + 50. Знайти граничні схильності до споживання і заощадження, коли національний доход складає 30 одиниць (у = 30).

Розв’язання. Знаходимо граничну схильність до споживання, диференціюючи за Y функцію споживання: = 0,02 у + 0,2. Підставляємо значення національного доходу, що дорівнює 30 одиницям: С¢_у = 0,02 × 30 + 0,2 = 0,8. Знаходимо граничну схильність до заощадження, користуючись рівністю,
S¢_y = 1 – С¢_у = 1 – 0,8 = 0,2.

Таким чином, при даному рівні національного доходу суспільство більше схильне проїдати його. Тобто, якщо національний доход збільшується на 1 одиницю від рівня 30, споживання виросте на 0,8 і тільки 0,2 одиниці підуть на інвестиції.

Приклад №7 Нехай залежність витрат виробництва від обсягу виробленої продукції виражається формулою С = 20 q – 0,05 q ³ грош. од. Визначити середні та маргінальні витрати при обсязі продукції вартістю q = 10 грош. од. Визначити швидкість маргінальних витрат та дати економічний зміст одержаних результатів.

Розв’язання. Функція середніх витрат на одиницю продукції визначається за формулою = С / q, тобто: = 20 – 0,05 q ², звідки (10) = 20 – 0,05 × 100 = = 15 грош. од.

Маргінальні (граничні) витрати визначаються за формулою (1.14):

С¢ = 20 – 0,15 q ², звідки С¢(10) = 20 – 0,15 × 100 = 5 грош. од.

Якщо взяти другу похідну від функції витрат, одержимо швидкість маргінальних витрат, тобто С² = – 0,3 q, що означає при всіх додатних значеннях q функція маргінальних витрат спадна.

Таким чином, при середніх витратах на виробництво одиниці продукції в 15 грош. од. додаткові витрати на виробництво одиниці продукції складають 5 грош. од. і не перевищують середніх витрат, при цьому з ростом q маргінальні витрати будуть постійно падати.

Приклад №8 Обчислити еластичність функції y = 3 x – 6 та визначити її економічний зміст.

Розв’язання. За формулою (1.15) маємо: . Якщо, наприклад, x = 10, то еластичність функції дорівнює числу . Це означає, якщо x зросте на 1%, функція y також зросте на 1,25%.

У випадках, якщо треба визначити не величину попиту, а зміну попиту, яка викликана певною зміною ціни, тоді визначають еластичність попиту відносно ціни. Припустимо, що попит q залежить від ціни p: q = f (p). Тоді еластичність попиту відносно ціни має вигляд:

. (1.16)

Еластичність попиту відносно ціни приблизно визначає, як зміниться попит на даний товар, якщо його ціна зросте на 1%.

Зауваження. У більшості випадків функція попиту є спадною, тобто з підвищенням ціни на товар попит на нього знижується. В таких випадках і щоб уникнути від’ємних чисел використовують на практиці таку формулу

. (1.17)

Якщо E_c > 1, тобто підвищення ціни на 1% відповідає зниженню попиту більше, ніж на 1%, говорять, що попит еластичний; якщо E_c = 1, тобто підвищенню ціни на 1% відповідає зниженню попиту на 1%, то говорять, що попит нейтральний; якщо E_c < 1, говорять, що попит нееластичний.

Приклад №9 Обчислити еластичність попиту, якщо залежність попиту від ціни виражається формулою q = 10 – p.

Розв’язання. Маємо . Якщо, наприклад, p = 2, то . Це означає, що при ціні дві одиниці підвищення ціни на 1% викличе зниження попиту на 0,25%, тобто попит нееластичний.

13. Екстремум функції однієї змінної. Література: [10], розд. ІІ, §31, стор. 151-167.

Приклад №10 [7]. Обсяг продукції, виробленої бригадою робітників, описується функцією y = – t ³ + 6 t ² + 120 t + 40 (од.), 1 £ t £ 8, де t – робочий час (год). Визначити продуктивність праці та темп зміни продуктивності праці протягом робочого часу. Дати економічний зміст одержаних результатів.

Розв’язання. За формулою (1.14) знаходимо функцію продуктивності праці p (t) = y ¢(t) = –3 t ² + 12 t + 120 (од. за год.). Визначимо знакосталість продуктивності праці протягом робочого дня. Для цього знайдемо точки перетину з віссю Оt, тобто –3 t ² + 12 t + 120 = 0 Þ t_1,2 = 2 ± 2 . Звідки, враховуючи, що p (t) – описує параболу, гілками униз, то на проміжку (2 – 2 ; 2 + 2 ) або
(–4,63; 8,63), тобто протягом усього робочого часу функція продуктивності праці додатна. Знайдемо момент часу t, в який продуктивність праці досягла свого максимального значення та проміжки зростання (спадання) функції. Для цього знайдемо р ¢(t) = y ²(t) = –6 t + 12 та прирівняємо до нуля. Отже, –6 t + 12 = 0 Þ t = 2. Таким чином, продуктивність зростала на проміжку часу [1; 2] і спадала на проміжку часу [2; 8]; причому на початку робочого дня p (1) = 129,
p _max(2) = 132, наприкінці – p (7) = 57.

Темп зміни продуктивності праці визначаємо за формулою (1.16): . Якщо t = 1 (тобто через годину після початку роботи), то T_p (1)» 0,05 год^–1, а якщо t = 7 (тобто за годину до її закінчення), то
T_p (7)» –0,5 год^–1. Отже, на кінець робочого дня продуктивність праці та її темп значно знижуються; при цьому зміна знака з плюса на мінус означає, що збільшення продуктивності праці у перші години робочого дня змінюється її зниженням в останні години.

Приклад №11 Припустимо, що в короткостроковому плані виробнича функція залежить тільки від чисельності персоналу фірми, тобто
Q = f (L) = 40 – 2 L, де Q – випуск продукції, a L – число працюючих. Потрібно визначити чисельність персоналу, при якій випуск Q досягає максимального значення.

Розв’язання. Знаходимо стаціонарні точки, тобто обчислюємо похідну і прирівнюємо її до нуля: Þ . Розв’язуючи рівняння, знаходимо L = 100. Обчислюємо другу похідну: . При L = 100 маємо f ²(100) = –0,01 < 0. Отже, в цій точці максимум. Відповідний випуск продукції Q = f (100) = 40× – 2×100 = 200.

Таким чином, максимальний випуск продукції складатиме 200 одиниць при чисельності персоналу у 100 осіб.

Завдання №5

Завдання складається з шести задач, умови яких однакові для всіх варіантів.

А. Знайти граничні схильності до споживання і заощадження, коли національний доход складає 5 × h + N одиниць, а споживання залежать від національного доходу так *.

Б. Нехай залежність витрат виробництва від обсягу виробленої продукції виражається формулою C = 50 × (h + N) q – 0,005 × (30 h – N + 1) q ³ + 2012* грош. од. Визначити середні та маргінальні витрати при обсязі продукції вартістю
q = 10 грош. од. Визначити швидкість маргінальних витрат та дати економічний зміст одержаних результатів.

В. Обчислити еластичність функції * при х = 1 та визначити її економічний зміст.

Г. Обчислити еластичність попиту * від зміни ціни при
p = 1 та визначити його економічний зміст.

Д. Обсяг продукції, виробленої бригадою робітників, описується функцією y = – t ³ + (10 h – N + 21) t ² + (N + 10 h) t + 2012* (од.), 1 £ t £ 8, де t – робочий час (год). Визначити продуктивність праці та темп зміни продуктивності праці протягом робочого дня. Дати економічний зміст одержаних результатів.

Е. Визначити чисельність персоналу, при якій випуск Q досягає максимального значення, якщо в короткостроковому плані виробнича функція залежить тільки від чисельності персоналу фірми, тобто Q = 3× N × h × L ² – 0,5× L ³ + 10× N ²× h *, де Q – випуск продукції, a L – число працюючих.