Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
1.Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.
2.Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке, f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].
3. Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].
4. Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
5. Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.
6. Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.
Таким образом, если
f '(x)>0 при x<x0 и f '(x)<0 при x> x0, то x0 – точка максимума;
при x<x0 и f '(x)>0 при x> x0, то x0 – точка минимума.
Правило исследования функции y=f(x) на экстремум
1.Найти область определения функции f(x).
2.Найти первую производную функции f '(x).
3.Определить критические точки, для этого:
a. найти действительные корни уравнения f '(x)=0;
b. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.
4.Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.
5.Вычислить значение функции в точках экстремума.
Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.
1. . Область определения функции D(y)=R.
Найдем производную заданной функции
Определим критические точки . Производная не существует при х2= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.
2.
Критическая точка функции x =3. Точка x= –1 не входит в область определения функции.
3.