Декартова система координат

Введем в трехмерном пространстве прямоугольную декартову систему координат как совокупность трех взаимно-перпендикулярных осей , называемых координатными осями, и точки О- началом координат.

Единичные векторы направленные вдоль осей соответственно, образуют прямоугольный базис.

Любой вектор пространства можно единственным образом разложить по базисным векторам, значит

. (6)

Числа называются координатами вектора в базисе .

Можно также записать:

ТЕОРЕМА.

Декартовы прямоугольные координаты вектора в базисе являются его проекциями на соответствующие оси координат.

Д-во.

Перенесем вектор к началу координат и проведем через конечную точку этого вектора плоскости, параллельные координатным. Тогда вектор как диагональ параллелепипеда представима в виде:

(7)

Где - углы, образованные вектором с координатными осями соответственно. Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису получаем:

(8)

Ч.Т.Д.

По теореме Пифагора для диагонали параллелепипеда:

(9)

Числа называются направляющими косинусами. Из формул (8) и (9) получим:

(10)

Тогда для них выполняется:

Если - единичный вектор, т.е. , то его координатами являются направляющие косинусы: .

Согласно теореме, при выполнении линейных операций над векторами, те же операции можно произвести с их координатами.

Пусть даны два коллинеарных вектора:

Если одно или два числа в знаменателе =0, то запись становится символической, т.к. не утверждает деления на ноль, а говорит лишь о пропорциональности координат коллинеарных векторов.