Лекция №5
Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается , (или ). Итак, по определению,
, (6)
где .
Формуле (6) можно придать иной вид. Так как ,
а , то получаем:
, (7)
т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Алгебраические свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: .
2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: .
3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: .
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .
В частности: .
Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль , т.е. ().
5. Если векторы и (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если , то . Справедливо и обратное утверждение: если и , то .
|
|