Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы или главным определителем:
.
Если то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:
где
где определители – называются вспомогательными и получаются из определителя путем замены его первого, второго или третьего столбца столбцом свободных членов системы.
Пример 2. Решить систему .
Сформируем главный и вспомогательные определители:
Осталось рассмотреть правила вычисления определителей третьего порядка. Их три: правило дописывания столбцов, правило Саррюса, правило разложения.
а) Правило дописывания первых двух столбцов к основному определителю:
.
Вычисление проводятся следующим образом: со своим знаком идут произведения элементов главной диагонали и по параллелям к ней, с обратным знаком берут произведения элементов побочной диагонали и по параллелям к ней.
|
|
б) Правило Саррюса:
Со своим знаком берут произведения элементов главной диагонали и по параллелям к ней, причем недостающий третий элемент берут из противоположного угла. С обратным знаком берут произведения элементов побочной диагонали и по параллелям к ней, третий элемент берут из противоположного угла.
в) Правило разложения по элементам строки или столбца:
Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения. |
Если , тогда .
Алгебраическое дополнение – это определитель более низкого порядка, получаемый путем вычеркивания соответствующей строки и столбца и учитывающий знак , где – номер строки, – номер столбца.
Например,
, , и т.д.
Вычислим по этому правилу вспомогательные определители и , раскрывая их по элементам первой строки.
Вычислив все определители, по правилу Крамера найдем переменные:
Проверка:
Вывод: система решена верно: .