2015-10-22
554
Определение линейного пространства, примеры линейных пространств.
Линейные подпространства, примеры подпространств. Линейные оболочки векторов.
Линейная зависимость (независимость) системы векторов.
1. Дать определение линейного пространства.
2. Доказать, что всех комплексных чисел является линейным пространством.
3. По какой причине множество векторов 
не является линейным пространством.
4. Доказать, что множество матриц 
является линейным пространством.
5. Дать определения линейного подпространства. Сформулировать критерий линейного подпространства. С его помощью доказать, что множество 
из задания 5 является линейным подпространством линейного пространства 
.
6. Доказать, что множество векторов 
является линейным подпространством пространства 
.
7. Дать определение линейной оболочки. Какие из множеств, приведенных ниже, являются линейными оболочками в пространстве многочленов не выше 3-й степени:
а) 
; б) 
;
в) 
?
8. Дать определение линейной зависимости (независимости) системы векторов.
|
|
|
9. Проверить на линейную зависимость (независимость) систему векторов 
из линейного пространства .
10. Проверить на линейную зависимость (независимость) систему матриц 
из линейного пространства 
.
11. Проверить на линейную зависимость (независимость) систему функций 
из линейного пространства, представленного множеством всех непрерывных при 
функций.
__________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Доказать, что множество 
с обычными для векторов операциями сложения векторов и умножения вектора на число образует линейное пространство.
2. Доказать, что множество всех матриц вида 
образует подпространство в пространстве всех квадратных матриц 3-го порядка.
3. Проверить линейную зависимость (независимость) системы векторов 
из пространства 
.
4. Доказать линейную зависимость системы функций 
из линейного пространства 
.
