Экономико-математическая модель задачи

Введем следующие обозначения: x₁ - число женских костю­мов; x₂ - число мужских костюмов. Прибыль от реализации женских костюмов составляет 10x₁, а от реализации мужских – 20x₂, т.е. необходимо максимизировать целевую функцию:

f (x) = 10x₁ + 20x₂ → max. Ограничения задачи имеют вид:

x₁ + x₂ ≤ 150; 2x₁ + 0.5x₂ ≤ 240; x₁ + 3.5x₂ ≤ 350; x₂ ≥ 60; x₁ ≥ 0.

Первое ограничение по труду x₁ + x₂ ≤ 150. Прямая x₁ + x₂ = 150 проходит через точки (150; 0) и (0; 150) (рис. 2).

Рис. 2. Решением первого неравенства является нижняя полуплоскость

Второе ограничение по лавсану 2x₁ + 0.5x₂ ≤ 240. Прямая 2x₁ + 0.5x₂ = 240 проходит через точки (120; 0) и (0; 480).

Третье ограничение по шерсти x₁ + 3.5x₂ ≤ 350. Добавим четвертое ограничение по количеству мужских костюмов x₂ ≥ 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой x₂ = 60 (рис. 3).

Рис. 3. Заштрихована область допустимых решений

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е.

.

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10; 20) с началом координат. При максимизации целевой функции необ­ходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при мини­мизации - в противоположном направлении. Для удобства мож­но строить вектор, пропорциональный вектору . Так, на рис. 4 изображен вектор-градиент (30; 60).

Рис. 4. Максимум целевой функции достигается в точке (70: 80)

В нашем случае движение линии уровня будем осуществлять до ее выхода из области допустимых решений. В крайней, угловой, точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пере­сечении точку максимума:

x₁ + 3.5x₂ = 350,

x₁ + x₂ = 150.

Отсюда легко записать решение исходной ЗЛП: max f (x) = 2300 и достигается при x₁ = 70 и x₂ = 80 (см. рис. 1.4).