Отношения и бинарные отношения, область определения, область значения, обратные отношения. Произведение отношений

n-местным отношением или n-местным предикатом Р на множествах А₁, А₂,…, А_n называется любое подмножество прямого произведения . Другими словами, элементы х₁, х₂,…, х_n (где х_i є A_i) связаны соотношением Р тогда и только тогда, когда (х₁, х₂,…, х_n) є Р. При n=1 отношение Р является подмножеством множества А₁ и называется унарным отношением или свойством.

При n=2 отношение Р называется бинарным отношением или соответствием.

Пример: Если А={2,3,4,5,6,7,8}, то бинарное отношение Р={(x,y) | x,y є A, x делит y и х≤3} можно записать в виде Р = {(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6)}.

Если Р={(x, y) | x, y є R, x≤y}, то запись xPy означает, что x≤y. id_A = {(x,x) | x є A} – тождественное отношение, id_A принадлежит А².

U = A² – универсальное отношение. Пусть Р – некоторое бинарное отношение. Областью определения отношения Р называется множество δ_Р = {x | (x,y) є P для некоторого у}. Областью значений отношения Р называют множество ρ_Р = {y | (x,y) є P для некторого х}. Обратным отношением называется множество Р^-1 = {(y,x) | (x,y) є P}.

Образом множества Х относительно предиката Р называется множество Р(Х)={y | (x,y) є P для некоторого х є Х}

Прообразом множества относительно предиката Р называется множество Р^-1(Х) или, другими словами, образ множества Х относительно предиката Р^-1.

Произведением бинарных отношений и или композицией Р₁ и Р₂ называется множество Р₁•Р₂ = {(x,y) | x є A, y є C, и найдется элемент z є B такой, что (x,z) є Р₁ и (z,y) є P₂}.

Свойства:

1) Ассоциативность композиции: (P•Q)•R=P•(Q•R)

Доказательство: Пусть (x,y) є (P•Q)•R. Тогда для некоторых u и v имеем (x,u) є P, (u,v) є Q, (v,y) є R. Тогда (u,y) є Q•R и (x,y) є P•(Q•R). Включение P•(Q•R) є (P•Q)•R доказывается аналогично.

2) (P•Q)^-1=Q^-1•P^-1

Доказательство: Предположим, что (x,y) є (P•Q)^-1. Тогда (y,x) є P•Q, и, следовательно, (y,z) є P и (z,x) є Q для некоторого элемента z. Значит (x,z) є Q^-1, (z,y) є P^-1 и тогда (x,y) є Q^-1•P^-1. Обратное включение доказывается аналогично.

3) P•Q ≠ Q•P

4) (P^-1)^-1=P

Доказательство: Если (x,y) є P, то (y,x) є Р^-1, но тогда (x,y) є (Р^-1)^-1.