U=å∫(M2(x)dV/(2EIz)); U равно половине произведения внешней силы на перемещение точки под этой силой (сумме произведений), что есть работа внешних сил на перемещениях точки под ними.
Для одноосного напряженного состояния:
U= ½FΔl; U=½FΔl/(Al)=σε/2= σ2/2E;
При трехосном (пространственном напряженном состоянии):
U=σ1ε1/2+σ2ε2/2+σ3ε3/3=(1/2E)(σ12+σ22+σ32-2υ(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1))
При деформации тела (пространственное) не только происходит изменение его объема, но и изменение формы (кубик → параллелепипед). U=UV+UФ, где UV – удельная потенциальная энергия изменения объема,
UФ – удельная потенциальная энергия формообразования (формоизменения).
UV=(1-2υ/6E)(σ1+σ2+σ3)2;
UФ=(1+υ/6E)((σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2);
Гипотезы прочности:
Цель теории прочности – сравнить напряженное состояние пространственное, плоское с допускаемыми напряжениями, которые получены экспериментальным путем для одноосного напряженного состояния. Два напряженных состояния (например: трехосное и одноосное) равноопасны, если при увеличении главных напряжений в одно и тоже число раз эти напряженные состояния одновременно становятся предельными. Предельное состояние – состояние потери работоспособности. Для хрупких σв → разрушение, для пластичных материалов σт → потеря упругих свойств.
|
|
Напряжение при напряженном состоянии равно опасное данному трехосному напряженному состоянию называют эквивалентным (σэкв). При формулировании теории прочности выбирают один или несколько факторов, приводящих к потере работоспособности элемента конструкции (величина напряжений σ, τ, величина деформаций ε, удельная потенциальная энергия, накопленная в теле) разрабатывается теорией, в которых учитывается скорость нагружения, температура, напряженное состояние, давление и т.д.
1-я теория прочности – теория нормальных наибольших напряжений, в соответствии с которой предельное состояние в точке тела наступает, если максимальные σ равны допускаемым. σэкв1=σ1. Условие прочности: σ1≤[σ]. Для 2-х и 3-хосных н.с. дает погрешности, т.к. не учитывается σ2 и σ3, но хорошо работает для хрупких материалов.
2-я теория прочности – максимальная относительная деформация ε: предельное состояние наступает, если εmax превышает допускаемую величину. Условие прочности: εmax≤[ε]. Не применяется в настоящее время т.к. дает неудовлетворительные результаты.
3-я теория прочности – теория наибольших касательных напряжений: предельное состояние наступает, если, τmax превышает допускаемую величину τ. При 3-осном состоянии:
|
|
τmax=(σ1-σ3)/2;
При 2-осном состоянии:
τmax=(σ1-σ2)/2;
При 1-осном н.с.: [τ]=[σ]/2.
Условие прочности: τmax≤[τ].
((σ1-σ3)/2)≤([σ]/2); σэкв3≤[σ], где σэкв3=σ1-σ3.
Дает хорошие результаты для пластичных деформаций, но е учитывает σ2.
4-я теория прочности – энергетическая: предельное состояние наступает, если удельная потенциальная энергия формоизменения превышает допускаемую величину.
UФ≤[UФ]; UФ=(1+υ/6E)((σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2);
[UФ]=((1+υ)2[σ]2)/6E; σэкв4≤ [σ];
σэкв4=√(½[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]);
В настоящее время продолжается разработка теории прочности с целью учета мех. числа факторов, влияющих на работоспособность элементов конструкции и на свойство материалов, т.к. один и тот же материал в зависимости от температуры, скорости нагружения, напряженного состояния и др. ведет себя как хрупкий или пластичный. Чем больше факторов учитывает, тем достовернее результаты, тем меньше коэффициент запаса прочности.