Контрольная работа № 1. Контрольная работа включает решение восьми задач

Контрольная работа включает решение восьми задач. Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре шифра, номера задач – по таблице. Справочные данные, необходимые при решении задач, приведены в приложении.

 

Таблица

Варианты контрольной работы

 

Вариант	Номера задач

1. Точка прошла половину пути со скоростью = 6 м/с. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью = 4 м/с, а последний участок – со скоростью = 8 м/с. Определить среднюю путевую скорость точки за все время движения.

2. Прямолинейное движение точки вдоль оси x описывается урав-нением (х – в метрах, t – в секундах). Найти ускорение точки в тот момент времени, когда её скорость станет равной 3 м/с.

3. По ледяной горке пустили скользить снизу вверх шайбу. На расстоянии l = 3 м от начальной точки шайба побывала дважды: через
t ₁ = 2 с и t ₂ = 10 с после начала движения. Считая ускорение постоянным, найти его модуль и начальную скорость шайбы.

4. Тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью υ ₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти значение угла α, при котором максимальная высота подъёма тела будет равна горизонтальной дальности его полёта.

5. Движение материальной точки задано уравнениями: ;
(x, y – в метрах, t – в секундах). Определить модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 10 с.

6. На вал радиусом R = 10 cм намотана нить, к которой привязана гиря. Двигаясь равноускоренно, гиря за t = 20 с от начала движения опустилась на h = 2 м. Найти угловую скорость и угловое ускорение вала в этот момент времени.

7. Нормальная составляющая ускорения частицы, движущейся по окружности радиусом R = 3,2 м, изменяется с течением времени по закону , где A = 2,5 м/с². Найти: а) путь, пройденный частицей за
t = 5 с с момента начала движения; б) тангенциальную составляющую и полное ускорение в конце этого участка пути.

8. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота зависит от времени по закону , где c = 0,20 рад/с². Найти полное ускорение точки на ободе колеса в момент времени t = 2,5 с, если линейная скорость её в этот момент υ = 0,65 м/с.

9. Автомобиль, движущийся со скоростью υ = 54 км/ч, проходит за-кругление шоссе радиусом кривизны R = 375 м. На повороте шофёр тормо-зит машину, сообщая ей ускорение a _τ = 0,5 м/с². Найти модули нормальной составляющей и полного ускорения автомобиля и угол между их направлениями.

10. Определить угловое ускорение и число оборотов, которое сделает маховик за t = 10 с с момента начала движения, если к концу десятой секунды он вращался, делая 300 оборотов в минуту. Вращение считать равноускоренным.

11. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Разность между максимальным и минимальным натяжениями веревки = 9,8 Н. Найти массу камня.

12. Мотоциклист с постоянной скоростью υ = 20 м/с едет по окруж-ности внутренней поверхности цилиндра, ось которого расположена верти-кально. Радиус цилиндра R = 4 м. Найти коэффициент трения шин мото-цикла о стенки цилиндра. Размерами мотоцикла и человека пренебречь.

13. Тяжелый шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити длиной l = 0,5 м, вращается в горизонтальной плоскости Нить образует с вертикалью угол α = 30°. Найти период вращения шарика.

14. Сосуд с жидкостью вращается с частотой вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему равен угол наклона поверхности жидкости по отношению к горизонтальной плоскости в точках, лежащих на расстоянии R = 5 см от оси вращения?

15. Через невесомый блок, подвешенный к пружинным весам, перекинута легкая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы массами m ₁ = 0,5 кг и m ₂ = 0,6кг. Что покажут весы во время движения грузов, если пренебречь трением в оси блока?

16. Бак в тендере паровоза имеет длину l = 4 м. Чему равна разность Δ l уровней воды у переднего и заднего концов бака при движении поезда с ускорением а = 0,5 м/с².

17. В вагоне, движущемся горизонтально и прямолинейно с ускорением а = 2 м/с², висит на шнуре груз массой m = 0,2 кг. Найти силу натяжения шнура и угол отклонения шнура от вертикали.

18. Материальная точка массой m = 20 г движется без трения прямолинейно под действием силы, изменяющейся с течением времени по закону , где – постоянный вектор, модуль которого А = 0,03 Н/с. В момент времени t = 0 с координата точки x ₀ = 0 м, скорость υ ₀ = 5 м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4 с движения.

19. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол
α = 45°, скользит брусок. За какое время от начала движения он приобретет скорость υ = 14 м/с? Коэффициент трения скольжения бруска о плоскость μ = 0,3.

20. Проволока круглого сечения диаметром d = 4,6 мм сделана из молибденовой стали, предел упругости которой Опреде-лить массу груза, который выдержит проволока в пределах упругой дефор-мации, если поднимать груз с ускорением a = 2,20 м/с².

21. Частица массой m ₁ = 1 г, двигавшаяся со скоростью (А = 3 м/с; В = – 2 м/с), испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой m ₂ = 2 г, а скорость (С = 4 м/с; D = – 6 м/с). Найти скорость образовавшейся частицы.

22. Снаряд массой m = 10 кг в верхней точке траектории имеет скорость υ = 200 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка. Один осколок массой m ₁ = 3 кг полетел вперед со скоростью u ₁ = 400 м/с под углом = 60° к горизонту. С какой скоростью u ₂ и под каким углом к горизонту полетит второй осколок?

23. Лодка длиной l = 3 м и массой m = 120 кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массами m ₁ = 60 кг и
m ₂ = 90 кг. На какое расстояние относительно воды сдвинется лодка, если рыбаки поменяются местами.

24. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека
М = 60 кг, масса доски m = 20 кг. С какой скоростью относительно пола будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) υ = 1 м/с. Массой колес пренебречь, трение не учитывать.

25. На подножку вагонетки, которая движется прямолинейно со скоростью υ = 2,0 м/с, прыгает человек массой m = 60 кг в направлении, перпендикулярности к ходу вагонетки. Определить скорость вагонетки вместе с человеком.

26. На сколько переместится относительно берега лодка длиной
l = 3,5 м и массой M = 200 кг, если стоящий на корме человек массой
m = 80 кг переместиться на нос лодки? Считать, что лодка расположена перпендикулярно берегу.

27. Конькобежец массой М = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 3 кг со скоростью
υ = 8 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед μ = 0,02?

28. При взрыве гранаты, летевшей горизонтально со скоростью
υ = 8,0 м/с, образовалось два осколка. Осколок, масса которого составляла 0,3 массы гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении со скоростью u ₁ = 30 м/с. Определить скорость u ₂ и направление движения второго осколка.

29. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью υ = 100 м/с, разорвался на две равные части на высоте h = 40 м. Одна часть через t = 1 с падает на землю точно под местом взрыва. Найти модуль и направление скорости второй части снаряда сразу после взрыва.

30. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом α = 45° к горизонту. Определить начальную скорость снаряда, если известно, что после выстрела платформа откатилась на расстояние l = 3,0 м. Масса плат-формы с орудием М = 2,0∙10⁴ кг, масса снаряда m = 10 кг, коэффициент трения качения между колесами платформы и рельсами μ = 0,002.

31. На блок, имеющий форму диска радиусом R = 20 см и массой
М = 5 кг, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения блока высота груза над полом h = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола?

32. Через блок, имеющий форму диска, диаметром 10 см и массой 100 г перекинута нерастяжимая и невесомая нить, на концах которой привязаны грузы массами 200 и 250 г. С каким угловым ускорением будет вращаться блок? Вычислить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если предоставить их самим себе.

33. Шар диаметром 40 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр, согласно уравнению = Аt + Bt ², где B = 1,0 рад/с². Вращение происходит под действием силы F = 5 H, направленной по касательной к поверхности шара. Найти массу шара.

34. Маховик в виде диска диаметром 80 см и массой 30 кг вращается, делая 600 об/мин. При торможении скорость вращения изменилась за 20 с до 240 об/мин. Определить тормозящий момент.

35. Материальная точка движется по окружности с нормальной составляющей ускорения . При этом момент силы, действующий на точку относительно центра вращения, выражается степенной функцией времени . Найти значение n.

36. Сплошной шар массой 10 кг и радиусом 15 см равномерно вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс шара, делая 600 об/мин. Сила, направленная по касательной к поверхности шара, за 10 с непрерывного действия остановила вращение. Определить вели-чину этой силы.

37. Сплошной диск диаметром 20 см и массой 4 кг вращается с частотой 10 об/с. Определить величину силы торможения, приложенной к боковой поверхности диска, которая остановит его за 10 с.

38. На краю стола закреплен блок, на который намотана нерастяжи-мая нить. К свободному концу нити подвешен груз массой 1 кг. Когда си-стему предоставили самой себе, груз начал падать с ускорением 8 м/с², вы-зывая вращение блока. Определить массу блока, считая его однородным диском.

39. Однородный тонкий стержень массой 0,8 кг и длиной 0,6 м может вращаться относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Вычислить угловую скорость стержня и линейную скорость его свободного конца через 4 с после начала действия силы, равной 2 Н, непрерывно действующей на свободный конец стержня перпендикулярно его оси и создающей вращающий момент.

40. Шар диаметром 40 см и массой 2 кг равномерно вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс шара. В результате непрерывного действия тормозящей силы 8 Н, касательной к поверхности шара, он остановился через 6 с. Сколько оборотов в секунду делал шар до начала торможения?

41. В центре платформы, имеющей форму диска, стоит человек и держит в руках стержень, направленный вертикально вдоль оси диска. Платформа с человеком вращается с угловой скоростью = 4 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа с человеком, если по-вернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи = 5∙кг∙м^2.. Длина стержня l = 1,8 м, масса m = 6 кг. Считать, что центр масс стержня находится на оси платформы.

42. Горизонтально расположенный деревянный стержень длиной
l = 1,8 м и массой М = 0,8 кг может вращаться вокруг перпендикулярной к нему вертикальной оси, проходящей через его середину. В конец стержня попадает и застревает в нем пуля массой m = 3 г, летящая перпендикуляр-но стержню и оси вращения со скоростью υ = 50,0 м/с. Определить угло-вую скорость , с которой начинает вращаться стержень.

43. На краю платформы в виде диска, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n ₁ = 8 мин ^–1, стоит человек массой
m = 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой n ₂ = 10 мин ^–1. Определить массу платформы. Человека можно рассматривать, как материальную точку.

44. Платформа, имеющая форму диска диаметром D = 3 м и массой М = 180 кг, может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой m = 70 кг со скоростью υ = 1,8 м/с относительно платформы? Человека рассматривать, как материальную точку.

45. Однородный стержень длиной l = 1,5 м и массой М = 10 кг может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. В середину стержня попадает пуля массой m = 10 г, летя-щая перпендикулярно стержню и оси вращения со скоростью υ = 500 м/с. Считая удар абсолютно неупругим, найти угол, на который отклонится стержень после удара.

46. Горизонтальная платформа массой М = 150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой
n = 8 мин ^–1. Человек массой m = 70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека рассматривать, как материальную точку.

47. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D = 0,8 м и массой m = 6 кг стоит человек массой М = 60 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m ₀ = 0,5 кг. Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии R = 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча υ = 5 м/с. Человека и мяч можно рассматривать, как материальные точки.

48. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться относи-тельно вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m = 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную точку на платформе? Масса платформы М = 240 кг. Человека можно рассматривать, как материальную точку.

49. Однородный стержень длиной l = 0,1 м может свободно вра-щаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой m = 7 г, летящая перпендикулярно стержню и оси вращения. Определить массу М стержня, если в результате попадания пули он отклонится на угол α = 60°. Принять скорость пули υ = 360 м/с.

50. Горизонтальная платформа в виде однородного диска радиусом R = 1,2 м вращается с частотой n = 4,5 об/мин. На краю платформы стоит человек массой m = 60 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы
I = 144 кг∙м², человека можно рассматривать, как материальную точку.

51. Карандаш, поставленный вертикально, падает на стол. Длина карандаша l = 15 см. Найти угловую и линейную скорости середины каран-даша в конце падения.

52. Какой путь пройдет катящийся без скольжения шар, поднимаясь вверх по наклонной плоскости (угол наклона к плоскости горизонта
α = 30⁰), если ему сообщена начальная скорость υ ₀ = 7 м/с, параллельная наклонной плоскости? Трение не учитывать.

53. Два груза массами m ₁ = 10 кг и m ₂ = 15 кг подвешены на нитях длиной l = 2 м так, что грузы соприкасаются. Меньший груз был отклонен на угол = 60° и выпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар считать неупругим, грузы считать точечными.

54. В шар массой М = 1 кг, подвешенный на длинной нерастяжимой нити, попадает и застревает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью υ = 500 м/с. На какую высоту поднимется шар, если сопро-тивлением воздуха и массой нити модно пренебречь? Какая часть меха-нической энергии превратится в тепловую в результате удара?

55. Определить кинетическую энергию вращающегося на токарном станке полого стального цилиндра длиной l = 400 мм. Внутренний и наружный радиусы цилиндра r = 30 мм, R = 50 мм. Частота вращения
n = 1200 мин ^–1. Плотность стали ρ = 7,8∙10³ кг/м³.

56. Тело массой m = 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном на-правлении со скоростью υ ₀ = 20 м/с, через t = 3 с упало на землю. Опреде-лить кинетическую энергию, которую имело тело в момент удара о землю (сопротивление воздуха не учитывать).

57. Шар и сплошной цилиндр, двигаясь с одинаковой линейной скоростью, вкатываются вверх по наклонной плоскости без скольжения. Какое из тел поднимется выше? Найти соотношение высот подъема.

58. Материальная точка массой m = 2 кг движется прямолинейно под действием некоторой силы в соответствии с уравнением
x = , где А = 10 м; В = 2 м/с; С = 1 м/с²; D = – 0,2 м/с³. Найти мощность, затрачиваемую на движение точки, в момент времени
t = 5 с.

59. Камень брошен вверх под углом α = 60° к горизонту. Кинети-ческая энергия камня в начальный момент времени Е _{0 k} = 20 Дж. Опре-делить кинетическую и потенциальную энергию в высшей точке его тра-ектории. Сопротивление воздуха не учитывать.

60. Маховик, момент инерции которого = 40 кг∙м², начал вращать-ся равноускоренно под действием момента силы М = 20 Н∙м. Определить кинетическую энергию, приобретенную маховиком за время t = 10 с.

61. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в ко-торой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять массу Земли в 81 раз больше массы Луны и рас-стояние от центра Земли до центра Луны равным 60 радиусам Земли.

62. Радиус Земли в 3,66 раза больше радиуса Луны. Средняя плот-ность Земли в 1,66 раза больше средней плотности Луны. Определить ускорение свободного падения у поверхности Луны, если ускорение сво-бодного падения g у поверхности Земли считать известным.

63. Две пружины жесткостью k ₁ = 0,3 кН/м и k ₂ = 0,8 кН/м соеди-нены последовательно. Определить абсолютную деформацию x ₁ первой пружины, если вторая деформирована на x ₂ = 1,5 см.

64. Ракете сообщили на полюсе Земли скорость υ ₀ = 5 км/с, направ-ленную вертикально вверх. Зная радиус Земли R и ускорение свободного падения g у ее поверхности, найти высоту h, на которую поднимется ракета. Сопротивление воздуха не учитывать.

65. На двух параллельных пружинах одинаковой длины висит невесомый стержень длиной l = 10 см. Жесткости пружин k ₁ = 2 Н/м и
k ₂ = 3 Н/м. На каком расстоянии от первой пружины к стержню следует подвесить груз, чтобы стержень оставался горизонтальным?

66. Какая работа А будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой m = 1 кг с высоты h, равной радиусу Земли. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g у ее поверхности считать известными.

67. Груз, положенный на чашку весов, сжимает пружину на l = 5 см. Найти величину сжатия пружины в том случае, если этот же груз падает на чашку весов с высоты h = 10 см.

68. По круговой орбите вокруг Земли вращается спутник с перио-дом Т = 90 мин. Определить высоту спутника над поверхностью Земли. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

69. Определить работу растяжения двух соединенных последова-тельно пружин жесткостями k ₁ = 400 Н/м и k ₂ = 240 Н/м, если первая пру-жина при этом растянулась на Δ l = 2 см.

70. Считая ускорение свободного падения g у поверхности Земли известным, определить высоту над полюсом Земли, на которой ускорение свободного падения убывает в 2 раза.

71. Собственное время жизни мюона t ₀ = 2,2 мкс. От точки рожде-ния до точки распада в инерциальной системе отсчета мюон пролетел рас-стояние l = 6,0 км. С какой скоростью υ (в долях скорости света) двигался мюон.

72. Отношение сторон прямоугольника а/b = 2 / 1. С какой скоростью (в долях скорости света) и в каком направлении должен двигаться прямо-угольник, чтобы ″неподвижному″ наблюдателю он казался квадратом?

73. В инерциальной системе отсчета мюон, движущийся со ско-ростью υ = 0,99 с, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние l = 3,0 км. Определить собственное время жизни этого мюона и расстояние, которое пролетел мюон с ″его точки зрения″.

74. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в 2 раза превышает ее ньютоновский импульс.

75. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью υ относительно инерциальной системы отсчета. При каком значении υ длина стержня в этой системе отсчета будет на 10% меньше его собственной длины?

76. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы
t ₀ = 10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в инерциальной сис-теме отсчета, где ее время жизни t = 20 нс?

77. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя?

78. Рассчитать уменьшение массы Солнца за один год, если извест-но, что общая мощность излучения Солнца составляет около
N = 3,8∙10²⁶ Вт.

79. Ракета движется относительно Земли со скоростью υ = 0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного на-блюдателя?

80. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в n = 4 раза?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

Некоторые физические и астрономические постоянные (округленные значения)

 

Постоянная	Значение
Гравитационная постоянная Стандартное ускорение свободного падения у поверхности Земли Масса Земли Масса Луны Средний радиус Земли Средний радиус Луны	G = 6,67∙10 –11 Н∙м2/ кг2 g = 9,81 м/с2 М З = 5,98∙1024 кг М Л = 7,35∙1022 кг R З = 6,37∙106 м R Л = 1,74∙106 м

Таблица 2

Множители и приставки для образования кратных
и дольных единиц системы СИ и их наименования

 

Приставка	Множитель	Обозначение
Пико Нано Микро Милли Санти Деци Кило Мега	10 –12 10 –9 10 –6 10 –3 10 –2 10 –1 103 106	п н мк м с д к М