Определители второго и третьего порядков

Матрицы и действия над ними.

Основные понятия.
Матрица – прямоугольная таблица чисел, составленная из некоторых математических объектов, состоящая из m строк и n столбцов.
i (m) – номер строки; j (n) – номер столбца
Матрицы спец. вида:

квадратная	единичная	диагональная	матрица строка	матрица столбец	ступенчатая

Действие над матрицами.

1. Сложение: суммой двух матриц A и B называется матрица С, такая, что
2. Умножение на число: произвед. матрицы A_mxn=(a_ij) на число k наз. матрица B_mxn=(b_ij) такая, что b_ij=k*a_ij
Обладает свойствами: коммутативность [a+b=b+a], ассоциативность [a+(b+c)=(a+b)+c], дистрибутивности [a(b+c)=ab+ac]
кольцо - это множество сведенных на нем операций не слож. и выч.
алгебр. структура – множество сведенных на нем хотя бы одной операции
линейным пространством наз. множ-во сведенное опер. умножение, сложение на число
3. Произведение матриц: А*В наз. такая матрица С, каждый элемент с_ij которой равен

сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: (А_mxn; B_c_xb; n=c; A*B=C_mxb)
пример: А*В В*А

4. Транспонирование: матрица А^тназ. транспонир., если а^т_ij = a_ji A_mxn; А^т_nxm пример:

Определители второго и третьего порядков.

Квадратной матрице А порядка n можно составить число detA (или |A|, или ∆), наз. ее определители след. образом:

1. n=1; A=(a₁); detA=a₁ 2. n=2; A=

; |A|=a₁₁*a₂₂− a₁₂*a₂₁

3. n=3; A=

;

Определитель также наз. детерминантом
свойства:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот пример:	2. При перестановке двух парал. рядов определитель меняет знак: пример:
n3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда равен нулю пример:	4. Если в определителе две строки пропорц., то определитель равен нулю. пример:
5. Если в определителе сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме всех определителей пример:
6. Если какая-либо строка в опред. содержит общий множитель, то его можно вынести за знак определителя пример: в 4 свойстве

7. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умнож. на любое число
пример:

Теория Лапласа

3. Миноры и алгебраические дополнения.

Минором (M_ij) некоторого элемента а_ij определителя n-го порядка наз. определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания

строки и столбца на пересечении некоторых находится выбранный элемент.

Алгебраическим дополнением (А_ij) элемента a_ij определителя наз. его минор, взятый со знаком «плюс», если сумме i+j – четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. А_ij=(-1)ⁱ⁺^j M_ij det A = a_k₁_j A_k₁_j + a_k₂_j A_k₂_j + a_k₃_j A_k₃_j