Итак, работа и теплота суть воздействия, т.е. способы, с помощью которых может изменяться состояние термодинамической системы при её взаимодействии с внешней средой. (Работа и теплота – две единственных, с точки зрения ТД, формы передачи энергии, а количество работы и количество тепла являются мерами энергии, передаваемой в указанных формах. Работа – в обобщенном ТД понимании есть любая макрофизическая форма передачи энергии, тогда как теплота есть совокупность микрофизических процессов передачи энергии.) Термодинамика стала "точной" наукой после того, как были предложены и апробированы адекватные, логически оправданные "рецепты" вычисления этих воздействий.
Работа обозначается в термодинамике буквой L и вычисляется по аналогии с механикой, т.е. как скалярное произведение силы и перемещения. Если речь идёт только об изменении объёма, то под перемещением следует понимать перемещение каждого из бесконечно малых элементов поверхности оболочки, ограничивающей систему, относительно её центра инерции.
|
|
Сила, действующая со стороны термодинамической системы на элементарную площадку оболочки, пропорциональна величине этой площадки, т.е.
. (1.20)
Согласно известному закону Паскаля, давление в однородных системах, каковыми являются газы и жидкости, не зависит от ориентации площадки и постоянно по объёму системы в отсутствие внешних полей или при не очень больших размерах.
Работа системы при конечном изменении её объёма от V 1 до V 2 вычисляется интегрированием:
, (1.23)
причём следует иметь в виду, что в общем случае давление в системе является функцией её объёма.
Отнесённая к единице массы системы работа называется удельной. Для неё имеем:
. (1.24)
Работа (полная L или удельная l) может быть изображена графически в системе прямоугольных координат (p - v) площадью под кривой p (v), что следует из геометрического смысла определённого интеграла (рис.1.2).
При вычислении количества теплоты уже нет возможности опираться на механику. По сложившейся традиции количество теплоты определяют как величину, пропорциональную изменению температуры системы:
. (1.25)
Величина C (с размерностью в системе единиц СИ Дж/К) носит название теплоёмкости термодинамической системы. Теплоёмкость C может принимать самые различные значения от . Известно, что температуру тела можно увеличить, не подводя к нему теплоту, например, ударяя по нему, и можно поддерживать постоянной, отводя или подводя теплоту, например, поместив сжимаемый или расширяющийся газ в термостат. В общем случае теплоёмкость термодинамической системы C зависит от количества вещества, составляющего систему; от вида вещества; от состава смеси, если система представляет собой смесь нескольких компонентов; от агрегатного состояния вещества; от температуры; от давления и, как уже говорилось, от способа изменения состояния системы, т.е. от процесса. Теплоёмкость термодинамической системы, отнесённая к единице количества вещества системы, носит название удельной теплоёмкости. При этом из соображений удобства в зависимости от выбора единицы количества вещества вводят различные удельные теплоёмкости:
|
|
- массовая теплоёмкость
, (1.26)
- объёмная теплоёмкость
, (1.27)
- мольная теплоёмкость
. (1.28)
Как бы ни была выбрана удельная теплоёмкость, все они, очевидно, должны удовлетворять условию .
Количество теплоты, отнесённое к единице массы системы, называется удельной теплотой:
. (1.29)
Теплоёмкость системы, определённая в (1.25) (или удельные теплоёмкости, определённые в (1.26) – (1.28)), представляет собой среднюю теплоёмкость в интервале температур Δ T = T 2– T 1. При учёте зависимости теплоёмкости от температуры её следует определять как отношение бесконечно малого количества теплоты к бесконечно малому изменению температуры, т.е.
. (1.30)
Определённые таким образом теплоёмкости называются истинными при данной температуре (строго говоря, в окрестности около данной температуры).
Имеем тогда для количеств теплоты:
(1.31)
Для удобства в инженерных расчётах выражение для количества теплоты обычно записывается в более простой форме, в частности,
(1.32)
где есть средняя удельная теплоёмкость в интервале температур (), определяемая по теореме о среднем как
. (1.33)
Замечание. Во всех формулах, начиная с (1.25), можно, очевидно, заменить температуру T, измеряемую в кельвинах, на температуру t, измеряемую в стоградусной международной шкале, т.е. в оС, так как количество теплоты и теплоёмкость определены только для разностей температур, которые в кельвинах и в градусах Цельсия совпадают.
Идеальный газ
Наиболее распространёнными веществами, используемыми в современных тепловых двигателях в качестве рабочих тел, являются атмосферный воздух и вода. Это связано, во-первых, с их большой распространённостью в природе и, во-вторых, с их относительно малой агрессивностью по отношению к конструкционным материалам. Этим объясняется большое количество экспериментальных данных по теплофизическим свойствам воздуха и воды.
Результаты опытных данных по свойствам воздуха и других газов при условиях, близких к атмосферным, были обобщены в виде газовых законов, носящих имена учёных, внесших наибольший вклад в эти исследования.
1. Закон Бойля - Мариотта
В 1661 году английский физик Р.Бойль и в 1676 году французский физик Э.Мариотт экспериментально установили обратно пропорциональную зависимость давления воздуха и других газов от объёма при постоянной температуре, что математически записывается в виде
(1.34)
2. Закон Гей-Люссака.
Французский физик и химик Ж.Л.Гей-Люссак в 1802 году на основании опытных данных установил линейную зависимость объёма газов от температуры при постоянном давлении, т.е.
(1.35)
Постоянная оказалась одинаковой для всех исследованных газов и по современным данным составляет
(1.36)
Закон Шарля
В 1787 году французский физик Ж.А.Ц.Шарль установил закон изменения давления газов с изменением температуры при постоянном объёме. Этот закон, так же, как и закон Гей-Люссака, описывается линейной зависимостью давления от температуры
(1.37)
причём постоянная практически совпадала с постоянной в законе Гей-Люссака. Позднее более точные измерения показали, что эти постоянные одинаковы.
Закон Авогадро
Этот закон, сформулированный итальянским физиком и химиком А.Авогадро в 1811 году, гласит: при одинаковых температурах и давлениях одинаковые объёмы любых газов содержат одно и то же число молекул. Исходя из сформулированного им же закона о пропорциональности объёмов и масс вступающих в химическую реакцию газов, Авогадро удалось также вычислить число молекул, содержащихся в одном киломоле любого газа, так называемую постоянную (или число) Авогадро:
|
|
В терминах макроскопических параметров закон Авогадро формулируется следующим образом: один киломоль любого газа при нормальных физических условиях занимает один и тот же объём, равный
За нормальные физические условия (НФУ) принимаются стандартные значения давления и температуры, близкие к обычным атмосферным условиям в средних широтах северного полушария:
НФУ: (1.38)
Перечисленные выше газовые законы позволяют записать термическое уравнение состояния для газов. Для этого запишем полный дифференциал объёма V системы как функции двух независимых переменных – давления p и температуры t:
Частные производные, входящие в это выражение, легко находятся из математических записей законов Бойля - Мариотта и Гей-Люссака:
Подставляя эти частные производные в дифференциал объёма и разделив его на V, получим дифференциальное уравнение для V с разделёнными переменными
решение которого есть
(1.39)
Величина представляет собой температуру, нулевое значение которой по шкале Цельсия соответствует -273.15оС. Такая температурная шкала была предложена В.Кельвином и носит название абсолютной. Таким образом, решение (1.39) может быть написано в виде объединённого закона газового состояния
(1.40)
Это равенство неточное, так как оно получено на основании экспериментов и применимо в условиях, сравнительно близких к атмосферным.
Гипотетический газ, в точности подчиняющийся термическому уравнению состояния (1.40), называется идеальным. Это есть термодинамическое определение идеального газа. С молекулярно-кинетической точки зрения идеальным газом называется совокупность большого числа (порядка числа Авогадро) хаотически движущихся не взаимодействующих между собой материальных точек.
|
|
Произвольная постоянная в уравнении состояния идеального газа (1.40) может быть найдена с использованием закона Авогадро. В самом деле, если уравнение (1.40) справедливо для любого состояния идеального газа, значит, оно справедливо и для состояния при нормальных физических условиях (НФУ). Таким образом, можно написать
(1.41)
Объём данной массы газа M может быть выражен через его мольный объём
где есть молекулярная (молярная) масса газа, а – число киломолей газа. Подставляя объём V 0 в (1.41), получаем
(1.42)
Комплекс
(1.43)
называется универсальной газовой постоянной. Таким образом, термическое уравнение состояния для идеального газа принимает вид
(1.44)
Это уравнение носит название уравнения Менделеева - Клапейрона и весьма широко используется во многих разделах физики и в технике.
Отношение
(1.45)
называется газовой постоянной для данного газа. С использованием этой величины
. (1.46)
Уравнение состояния удобно записывать для одного килограмма газа, используя понятие удельного объёма
. (1.47)
В этом случае уравнение состояния имеет вид
(1.48)
или
(1.49)
где – плотность газа.
Термическое уравнение состояния позволяет найти связь между различными термическими коэффициентами, характеризующими упругие и термические свойства газов. Для идеального газа эти коэффициенты легко выражаются через параметры:
· температурный коэффициент расширения
, (1.50)
· изотермический коэффициент упругости
, (1.51)
· коэффициент давления
. (1.52)
Для нахождения связи между этими тремя коэффициентами воспользуемся общей формулой (1.11), положив в ней Тогда получаем
(1.53)
Используя определения термических коэффициентов (1.50) – (1.52), находим искомую связь:
(1.54)