О мощности множеств действительных чисел. В п. 2.2 утверждалось, что множества точек отрезка [0, 1] и отрезка [a, b] равномощны

В п. 2.2 утверждалось, что множества точек отрезка [0, 1] и отрезка [ a, b ] равномощны. Доказать это нетрудно: взаимно однозначное соответствие [0, 1] [ a, b ] может быть установлено функцией Y = (b - a) • X + a. Если X = 0, то Y = a; если X = 1, то Y = b, откуда, если
0≤ X ≤ 1, то a ≤ Y ≤ b (рис. 10).

Рис. 10

Тем самым отрезки разной длины равномощны (по-другому, эквивалентны). На рис. 11 графическая иллюстрация этого факта. Можно показать также равномощность отрезка и интервала, непосредственно указав взаимно однозначное соответствие (рис. 12).

Рис. 11 Рис. 12

На отрезке [0, 1] каждому числу вида (n- 1 ) / n: 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т.д. ставится в соответствие следующее число этой последовательности. На отрезке [1, 2] соответствие симметрично: последовательность имеет вид (n+ 1 ) / n: 2, 3/2, 4/3, 5/4... Всем остальным числам отрезка [0, 2] ставятся в соответствие они сами. Концы интервала не соответствуют при этом ни одной точке отрезка.

Однако можно воспользоваться более общим утверждением (равномощность множеств А и В обозначается А ~ В).

Теорема. Пусть А и В - два множества, А ¢, В ¢ - их подмножества: А¢ Í А, В¢ Í В. Пусть каждое из множеств А, В эквивалентно подмножеству другого: А ~ В ¢, А ¢ ~ В. Тогда А ~ В, т.е. множества эквивалентны.