При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики составляющих:
, , , , где
(6.2.1)
для дискретных составляющих X и Y и
(6.2.2)
в случае непрерывных составляющих.
Упорядоченную пару чисел называют математическим ожиданием двумерной случайной величины, а - ее дисперсия.
Отмеченные выше числовые характеристики не определяют степень зависимости составляющих X и Y. Эту роль выполняют корреляционный момент (иначе: ковариация ), который определяется следующим образом:
. (6.2.3)
Для дискретных случайных величин
(6.2.4)
Для непрерывных случайных величин
(6.2.5)
Корреляционный момент можно вычислить по формуле (6.2.6)
. (6.2.6)
Если Х и Y независимы, то . Если , то Х и Y зависимые случайные величины.
В случае случайные величины X и Y называют некоррелированными, при этом она могут быть как зависимыми, так и независимыми.
Ковариация X и Y характеризует не только степень зависимости случайных величин, но и их рассеяние вокруг точки . Кроме того, - размерная величина, что затрудняет ее использование для оценки степени зависимости для различных случайных величин.
|
|
Для оценки зависимости вводится коэффициент корреляции
, (6.2.7) где и - среднеквадратические отклонения X и Y.
Коэффициент корреляции - безразмерная величина, обладающая следующими свойствами:
1. - ограниченная величина, а именно .
2. Если X и Y – независимые случайные величины, то .
3. Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью , то и наоборот.
Из последнего свойства можно сделать вывод: коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости случайных величин X и Y.
Пример 6.2.1. В урне содержится 4 белых и 2 черных шара. Из нее извлекают 2 шара без возвращения. Пусть X – число извлеченных белых шаров, Y – число извлеченных черных шаров. Составить закон совместного распределения двумерной случайной величины и найти коэффициент корреляции .
Решение. Как Х, так и Y могут принимать значения 0; 1; 2. Вычислим соответствующие вероятности.
, , .
X Y | |||
0,4 | |||
Очевидно, что ,
,
,
,
.
Составим распределения X и Y.
X | |||
pi | 0,4 |
Y | |||
pj | 0,4 |
Найдем , .
Вычислим .
Вычислим и .
.
Вычислим .
Следовательно, Х и Y связаны линейной зависимостью.
Пример 6.2.2. Плотность совместного распределения случайных величин Х и Y задана формулой
.
Найти: 1) коэффициент с; 2) безусловные и условные плотности распределения Х и Y; 3) , ; 4) ковариацию Х и Y.
Решение. Так как , то вычислив = , получим и .
Найдем и
.
Условный закон распределения Х
|
|
.
Аналогично,
.
Вычислим и .
.
Аналогично .
Вычислим .