а) Поле бесконечной заряженной плоскости (рис. 16.7)
Введем поверхностную плотность заряда (). Выбираем вспомогательную гауссову поверхность , в данном случае в виде цилиндра, основания которого параллельны плоскости, а образующие перпендикулярны ей. Записываем теорему Гаусса . | |
Рис. 16.7 |
Раскладываем интеграл по поверхности на 3 интеграла (по левому основанию, правому основанию и боковой поверхности): . Угол между и для левого основания равен нулю, значит , т.е. .
Аналогичный результат мы получим и для правого основания. Поток напряженности через боковую поверхность равен нулю (угол , ; силовые линии параллельны боковой поверхности, ее не пересекают).
Заряд, вырезаемый гауссовой цилиндрической поверхностью на заряженной плоскости, равен . Тогда, подставляя полученное выражение в теорему Гаусса, получим , откуда напряженность поля заряженной плоскости равна
б) Поле плоского конденсатора.
Имеется две бесконечные заряженные плоскости, заряженные разноименно с поверхностной плотностью заряда (рис. 16.8). Воспользуемся принципом суперпозиции. Напряженность поля в области I: , где и - напряженности полей, создаваемых пластинами 1 и 2 соответственно. В проекции на ось X . | |
Рис. 16.8 |
В области II .
|
|
В области III .
Таким образом, поле бесконечного плоского конденсатора сосредоточено внутри, между его пластинами, и равно
(Примечание: конденсатор можно считать бесконечным, если размеры пластин примерно на порядок больше расстояния между ними.)
в) Поле объемно-заряженного шара.
Пусть имеется равномерное скопление зарядов в виде шара (рис. 16.9) радиусом с объемной плотностью (). Поле шара обладает центральной симметрией. Записываем теорему Гаусса . Проведем внутри шара вспомогательную (гауссову) поверхность в форме сферы радиусом . Дальнейшие преобразования: . Напряженность по величине на одном и том же расстоянии от центра шара одинакова, поэтому, вынося за знак интеграла, получим:
, где - площадь гауссовой сферы.
Заряд, охватываемый гауссовой поверхностью, равен , где - объем шара.
В итоге, подставляя в теорему Гаусса, получаем , и поле внутри заряженной сферы | |
Рис. 16.9 | |
Проведя аналогичные действия вне заряженной сферы, нетрудно получить График зависимости представлен на рис. 16.10. | |
Рис. 16.10 |