Полное динамическое подобие. Закон динамического подобия Ньютона в коэффициентах подобия можно истолковать следующим образом. Частицы жидкости участвуют в движении под действием внешних массовых и поверхностных сил (сил тяжести, давления и трения), результирующая которых равна силе инерции. Масштаб сил инерции определяется законом динамического подобия Ньютона. Следовательно, масштабы всех иных сил, действующих на сходственные жидкие частицы и определяющих их движение, должен быть таким же.
Запишем закон динамического подобия Ньютона, выражая масштабы через физические величины:
Fн/Fм = ρн lн uн/ (ρмlмuм).
Перенесем члены с одинаковыми индексами по разные стороны равенства:
Fн /(ρн lн uн) = Fм / (ρмlмuм)= Ne.
Это равенство является условием полного динамического подобия. Число Ne - называется критерием (числом) Ньютона полного динамического подобия.
Вообще критерием подобия называются безразмерные величины (числа), составленные из размерных физических параметров, определяющих рассматриваемое физическое явление.
Следовательно, в сходственных точках динамически подобных потоков числа Ньютона должны быть одинаковы, т. е. NeM=NeH, или Ne=idem.
При определении сил, действующих на жидкие (натурную и модельную) частицы в сходственных точках необходимо учтывать силы тяжести G, давления Р, трения FTP и их результирующая - сила инерции J. При полном динамическом подобии они должны находиться в соотношении:
Gн /Gм = FTpн/FTpм = Pн /Pм = Jн / Jм = mF. (7.9)
Потоки динамически, кинематически и геометрически подобные, как указывалось, называются механически подобными.
Частичное динамическое подобие. Перечисленные силы имеют различную физическую природу. Это обстоятельство затрудняет обеспечение полного динамического подобия натурного и модельного потоков и приводит на практике к его неосуществимости. К счастью, существует довольно значительный класс течений, которые вызываются действием на жидкость в основном какой-либо одной (преобладающей) силы. Для таких случаев можно получить критерий частичного динамического подобия, при котором учитывается действие преобладающей силы и силы инерции, а действием остальных сил пренебрегают.
Пусть преобладающей является сила тяжести G. Считаем, что в этом случае силами давления Р и трения FТр можно пренебречь. Тогда условие частичного динамического подобия сведется к равенству:
или . (7.10)
Но силы инерции согласно формуле (7.7) пропорциональны плотности, квадратам характерной длины и характерной скорости, а силы тяжести пропорциональны плотности и объему (или характерной длине в кубе).С учетом этих замечаний получим:
откуда
(7.11)
Полученный безразмерный параметр, пропорциональный отношению сил инерции к силам тяжести, называется критерием или числом Фруда.
Таким образом, для обеспечения частичного динамического подобия при преобладающем действии сил тяжести в сходственных точках числа Фруда должны быть одинаковыми, т. е. должно выполняться требование
FrM=FrH, или Fr=idem.
При вычислении числа Фруда для конкретных условий gн =gм, а вкачестве величин l и и принимают характерные значения линейного размера и скорости. Например, за характерный линейный размер можно принять глубину потока h (или ширину мостовой опоры, или другую величину), а за характерную скорость - ее значение вдали от препятствий, т. е. скорость невозмущенного течения и∞, т. е.
и т. п.
Если преобладающей является сила трения FТр, то можно пренебречь силами тяжести G и давления Р. Условие частичного динамического подобия сводится к равенству
или
Согласно закону вязкостного трения Ньютона, сила трения, пропорциональная градиенту скорости и площади соприкасающихся слоев жидкости, равна
Подставляя значения сил трения и инерции в условие частичного динамического подобия для рассматриваемого случая, получаем
или после сокращения, принимая во внимание, что μ/ρ=ν,
(7.12)
Критерий частичного динамического подобия, учитывающий вязкость жидкостии выражающий пропорциональность отношения сил инерции и сил трения, называется критерием Рейнольдса. Следовательно, в этом случае в сходственных точках должно выполняться требование ReM=ReH или Re=idem.
При определении числа Рейнольдса за характерные линейный размер и скорость обычно принимают глубину и скорость невозмущенного потока (Re=u∞h∞/v), диаметр трубопровода и среднюю скорость (Red=vd/ν) или гидравлический радиус и среднюю скорость (ReR =vR/ν).
Когда преобладающим является действие сил давления Р, поступая аналогично изложенному выше, придем к условию Jн /Pн =Jм /Pм. Так как Р=pω~р12, то получаем
или
(7.13)
Критерий частичного динамического подобия, учитывающий действие сил давленияи пропорциональность отношения сил инерции к силам давления, называется критерием Эйлера. В сходственных точках числа Эйлера должны быть одинаковыми, т. е. EuM=EuH или Eu=idem.
В газообразной жидкости скорость звука
где k=CplCv; Сp - удельная теплоемкость в изобарическом процессе; Сv - удельная теплоемкость в изохорическом процессе (для воздуха k≈1,41). Если движение газа моделируется движением того же газа, то kм=kн.
При этом условии можно записать
Так как
, то
или
В сходственных точках Мам=Ман или Ma=idem, где Ма - число Маха (Маиевского), учитывающее сжимаемость жидкости. Легко установить, что при Ма<1 поток газа будет дозвуковым, а при Ма>1 - сверхзвуковым.
Если принять во внимание другие силы, то аналогичным путем можно найти иные критерии частичного динамического подобия.
В частности, если преобладающей силой является сила поверхностного натяжения, то получим критерий подобия Вебера: We=pu2l/σ, где σ - коэффициент поверхностного натяжения.
Если преобладающая - выталкивающая (архимедова) сила - то число Архимеда Ar=gl(ρ-ρо)/(ρFr) = (ρ-ρо)/(ρFr).
При неустановившихся течениях необходимо учитывать критерий подобия Струхаля Sh—l/ut и т. д.
Произведения (частные) различных критериев подобия представляют собой новые критерии подобия рассматриваемых физических явлений. Это объясняется пропорциональностью всех характеризующих их параметров.
Ранее уже было подчеркнуто, что обеспечить полное динамическое подобие невозможно. Покажем на примере, что это действительно так. Пусть заранее известно, что в натурном потоке действие сил тяжести, трения и инерции соизмеримо. Тогда при моделировании такого потока необходимо удовлетворить условия Re=idem и Fr=idem.
Из первого условия следует
Cледовательно, масштаб скорости
тu = uн / им = lн/lм νм/νн) =m-1 mν.
При моделировании геометрический масштаб обычно является заданным. Его назначают, исходя из возможностей лаборатории, экономических и других соображений.
По второму условию
И тот же масштаб окажется равным
Приравнивая правые части полученных двух выражений для масштаба скорости, придем к выводу, что для одновременного удовлетворения двух критериев подобия Fr и Re необходимо на модели применить жидкость с другой вязкостью, причем масштаб вязкости должен быть найден из равенства mν/m=m0,5.
Отсюда mν=m3/2. Так как mν=νн/νм, то νм=νнm2/3.
Следовательно, на модели с меньшим, чем у натуры, размерами необходимо использовать жидкость с меньшей вязкостью. При моделировании потоков маловязких жидкостей, например воды, это обстоятельство приводит к серьезным затруднениям. При большем числе подлежащих учету сил положение, естественно, усугубляется.
Автомодельность. Если какая-либо величина, характеризующая гидравлическое явление, не зависит от того или иного критерия подобия, то говорят, что она автомодельна по отношению к этому критерию. Например, коэффициент Шези С в квадратичной зоне сопротивления не зависит от числа Рейнольдса Re. Следовательно, он автомоделен к этому критерию. В той же зоне сопротивления и коэффициент гидравлического трения λ автомоделен к числу Рейнольдса. При скоростях течения газов, не превышающих нескольких десятков метров в секунду, и при обычных температурах можно пренебречь влиянием их сжимаемости, т. е. можно такие течения считать автомодельными к числу Маха.
Существование областей автомодельности существенно расширяет возможности моделирования гидравлических явлений, поскольку делает ненужным удовлетворять некоторым критериям подобия.
Определяющие и неопределяющие критерии подобия. Течение жидкости описывается системой уравнений движения и неразрывности, начальными и краевыми условиями для искомых функций, т. е. условиями, накладываемыми на них в начальный момент времени и на границе области, занятой жидкостью. С другой стороны, течение жидкости полностью определяется геометрией потока и физическими свойствами жидкости. Эти условия по отношению к исходной системе уравнений являются внешними и независимыми от нее. Они однозначно определяют течение жидкости и называются условиями однозначности.
Если критерии подобия составлены только из условий однозначности, то их называют определяющими критериями подобия. Остальные критерии относятся к числу неопределяющих, они зависят от определяющих критериев подобия.
Поясним это на следующем примере. Пусть решается задача об определении перепада давления Δр в круглом трубопроводе диаметром d и длиной l, имеющем шероховатую внутреннюю поверхность с высотой выступов шероховатости Δ при заданных средней скорости движения жидкости v и кинематической вязкости ν.
Перепад давления входит в критерий Эйлера Еи= рv/Δр. Этот критерий заранее определить нельзя, поскольку в него входит неизвестный перепад давления. Следовательно, критерии подобия Эйлера в данном случае является неопределяющим. Напротив, критерий подобия Рейнольдса легко находится по заданным (известным) значениям диаметра трубопровода, средней скорости и вязкости: Re= vd/ν. Критерий Рейнольдса в этой задаче выступает в качестве определяющего критерия. определяющими критериями будут также величины Δ/d и l/d.
Обычно зависимость неопределяющего критерия от определяющих записывают в виде критериального уравнения, для нашего случая имеющего вид
Eu=f(Red, Δ/d, l/d).