Соотношение неопределённости Гейзенберга

Гипотеза Де Бройля. Электронная микроскопия. Волновая функция.

 

 

Волны де Бройля

В начале XX века картина мира выглядела очень чётко и не представляла вариантов для толкования:

всякое вещество состоит из отдельных частиц, а любое излучение распространяется в виде волн.

Каких частиц — это отдельный вопрос. Но именно так: или частицы или волна — и никак иначе! Всё ясно и понятно.

Такая идиллия продолжалась до 1924 года, пока французский физик Луи де Бройль не пришёл к выводу, что волновые свойства присущи абсолютно всем материальным объектам.

По де Бройлю длина волны , которая может быть сопоставлена любой частице, связана с её импульсом px и постоянной Планка h соотношением     (1)

На эту гипотезу де Бройля натолкнуло сходство уравнений, описывающих поведение лучей света методами геометрической оптики, и движение частиц в механике методом уравнений Гамильтона.

Предположение было неожиданным, красивым и многое объясняло, но нужно было его экспериментальное подтверждение, иначе всё так и осталось бы на уровне гипотезы.

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля в 1927 году получили американские исследователи Дэвидсон и Джермер. Они изучали угловое распределение электронов, рассеивающихся на монокристалле никеля.

Рис. 1.Схема опыта Дэвидсона и Джермера: 1 — нить накала, 2 — диафрагмы, 3 — кристалл никеля, 4 — ионизационная камера, 5 — гальванометр.

Схема эксперимента представлена на рис.1. Испускаемые нитью накала 1 термоэлектроны проходят ускоряющую разность потенциалов U в поле, создаваемом между электродами 1 и 2. После вылета из отверстия в электроде 2 и прохождения набора диафрагм узкий пучок разогнанных электронов попадал на монокристалл никеля 3, на котором и происходило рассеяние.

Ионизационной камерой 4, с присоединённым с ней гальванометром 5, по силе возникающего тока I измерялось число электронов, отражённых от кристалла под углом , равным углу падения, то есть — интенсивность отражённого электронного пучка.

Рис. 2

В результате измерений было обнаружено два очень примечательных факта: 1. При постоянном угле интенсивность отражённого электронного пучка почти периодически менялась при увеличении ускоряющего напряжения (см. рис. 2).

2. Если же угол падения электронного пучка на кристалл менялся, а ускоряющее напряжение U оставалось неизменным, то интенсивность отражённого пучка имела ярко выраженные максимумы при углах падения, удовлетворяющих условию Вульфа-Брэгга.

Способ нахождения импульса зависит от скорости, которую имеет частица. Если скорость движения частицы во много раз меньше скорости света в вакууме, то импульс (количество движения) определяется привычной формулой.

(2)

Здесь m ₀ — масса покоя частицы, v — её скорость.

При скоростях же, близких к скорости света, импульс является более сложной функцией

(3)

Выясним, какое выражение (2 или 3) надо использовать для нахождения импульса в данном случае. Для этого сравним энергию электронов в условиях опыта Дэвидсона и Джермера с их энергией покоя.

В проведённых экспериментах ускоряющее напряжение было на уровне 400В. В этом случае энергия электронов не превышала E_e= eU = 400 эВ. Энергия же покоя электрона E_o= m_o c² = 0,511 МэВ = 511000 эВ. Следовательно, E_e<<E_o, электроны являются нерелятивистскими и для нахождения их импульса можно использовать выражение (2).

При разгоне (ускорении) электрона работа сил электрического поля идёт на увеличение его кинетической энергии. Для условий эксперимента получаем

(2)

Отсюда находим, что . Тогда для опыта Дэвидсона и Джермера длина волны де Бройля может быть записана как

(3)

Подстановка числовых значений даёт

Следовательно, при U = 400 В в описываемых экспериментах имеем для электрона значение длины волны де Бройля равное = 6,2 10^-11м.

Такое же значение для длины волны дал и расчёт по формуле Вульфа-Брэгга, основанной на волновой теории.

Гипотеза Луи де Бройля о наличии у частиц волновых свойств получила своё экспериментальное подтверждение.

Вроде бы можно успокоиться и заняться чем-либо другим. Однако вопрос, поднятый де Бройлем, был слишком фундаментальным и нужны были более наглядные подтверждения. Поэтому экспериментаторы продолжили свою работу.

Следует отметить, что одновременно и независимо от Дэвидсона этими вопросами занимался профессор Абердинского университета Джордж П.Томсон (сын знаменитого Джозефа Джона Томсона, открывшего электрон), который и добился успеха первым.

Рис. 3. Снимки дифракционных колец, полученные Джорджем П.Томсоном при пропускании электронов через тонкую золотую фольгу

В своих экспериментах вместо пучка медленных электронов, который трудно было регулировать, Дж.Томсон использовал пучок быстрых электронов, создаваемых катодной трубкой. Вместо отражения от толстой пластинки (кристалла) он исследовал прохождение электронов через тонкую фольгу, а для регистрации результатов вместо гальванометра взял фотографическую пластинку. Для устранения рассеяния электронов на молекулах воздуха установка тщательно откачивалась ртутными насосами.

На рис. 3 приведены первые фотографии с двумя дифракционными картинами при разных напряжениях на катодной трубке. Видно, что увеличение напряжения (левый снимок), приводящее к увеличению энергии электронов, приводит и к более чёткой картине с большим числом колец.

Многократно повторив свои эксперименты с различными образцами фольги, Джордж П.Томсон пришёл к выводу:

"Детальное согласование этих экспериментов с теорией де Бройля (утверждающей, что частица ведёт себя как группа волн, длина и скорость которых зависят от скорости и массы частицы), на мой взгляд, следует рассматривать как важное свидетельство в её пользу. Это означает, что механику Ньютона (включая её релятивистские модификации) можно рассматривать лишь как первое приближение к истине, находящейся в таком же точном соответствии с теорией, в каком геометрическая оптика находится с волновой. Как бы трудно ни было сразу принять это обобщение, полученные результаты, по-видимому, невозможно объяснить иначе как дифракцией".

Несколько после Дж.П.Томсона аналогичные результаты были получены П.С.Тартаковским, а затем и другими физиками, которые также смогли зафиксировать дифракционные кольца, возникающие при прохождении пучка электронов через тонкие слои металла.

Советский физик Иосив Мандельштам с сотрудниками пошёл ещё дальше, он сумел экспериментально показать, что де Бройлевские волны могут интерферировать между собой.

Затем был показано, что волновые свойства обнаруживают нейтроны, протоны и даже молекулы водорода.

Дифракция электронов (электронография) применяется сейчас при исследовании структуры поверхности, например, при изучении коррозии, при адсорбции газов на поверхностях.

Дифракция нейтронов (нейтронография) является мощным средством изучения структур, в особенности органических кристаллов, содержащих водород, что невозможно сделать с использованием рентгеновского излучения.

Появились и новая отрасль науки — электронная оптика, давшая миру новый прибор — электронный микроскоп, без которого в настоящее время немыслимы многие исследования. При ускоряющих напряжениях от 50 до 100кВ разрешающая способность электронных микроскопов приближается к 20 .

Но всё это было позже, а первопроходцы

Дэвидсон и Томсон за свои эпохальные эксперименты в 1937 году были удостоены Нобелевской премии по физике.

Соотношение неопределённости Гейзенберга

Доказанное одновременное наличие у микрочастиц и корпускулярных и волновых свойств приводило к невозможности применения к ним законов классической механики.

В макромире можно однозначно определить в любой момент времени импульс и координату движущего тела или материальной точки; можно рассчитать и траекторию их движения.

В микромире из-за наличия волновых свойств одновременные значения координат и скорости (импульса) не существуют: если известна скорость (импульс), то местоположение частицы (её координаты) не имеют определённого значения — понятие длина волны в конкретной точке не имеет смысла. То же самое и наоборот.

Налицо парадокс, который впервые был сформулирован немецким физиком Вернером Гейзенбергом в виде так называемого
принципа неопределённости:

произведение неопределённости измерения импульса px на неопределённость измерения координаты x не может быть меньше постоянной Планка (4)

Разделив выражение (4) на массу m частицы, получим другую форму записи принципа неопределённости:

(5)

То есть, чем точнее определена скорость частицы вдоль оси х (то есть чем меньше v_x), тем больше неопределённость её координаты (то есть тем больше х).

Причём эта неопределённость обусловлена не грубостью приборов, а самой природой исследуемых тел (частиц).

Сказанное выше хорошо иллюстрируется несколькими примерами, с которыми можно познакомиться здесь.

Если выразить p_х через энергию ( p_х = Е/ v_x), то учитывая, что х/ v_х= t, получаем соотношение неопределённостей для энергии E и времени t:

(6)

Здесь tпредставляет собой время, в течение которого микрочастица обладает энергией .

Например, атом на самом низком энергетическом уровне может пребывать сколь угодно долго (), поэтому энергия этого состояния вполне определена: Е = 0.

В более высоком энергетическом состояни и атом пребывает очень недолго. Если это время равно t, то энергия атома в этом состоянии может быть определена с точностью до и будет равна . При переходе атома с более высокого уровня на более низкий энергетический уровень с энергией Е' он излучает фотон с энергией

(7)

Таким образом, энергия излучённого фотона может быть известна только с точностью до Е. Величина же Е определяется временем t жизни атома в возбуждённом состоянии.

На основании выражения (7) можно утверждать, что частота излучённого кванта (фотона) имеет неопределённость, равную = Е / h, то есть линии в спектре будут иметь частоту, равную Е / h.

Именно это и наблюдается на опыте:

все спектральные линии размыты и имеют конечную ширину, величина которой позволяет определить порядок времени существования атома в том или ином возбуждённом состоянии.

Уравнение Шредингера

В классической механике движение любой материальной точки однозначно описывается уравнением Исаака Ньютона (второй закон Ньютона), которое в движении вдоль оси ОХ (одномерный случай) имеет вид

	(8)

В квантовой механике необходим учёт волновых свойств частиц. Поэтому вместо формулы (8) должно быть использовано другое уравнение. Такое уравнение в 1926 году было записано Эрнестом Шредингером и носит его имя.

Чтобы уравнение, описывающее движения микрочастицы, учитывало её волновые свойства, это уравнение должно быть волновым. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, волновое уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Независимыми переменными в нём являются координата и время.

В случае электромагнитной волны имеем

	(9)

 

где
	E и H — напряжённости электрического и магнитного полей волны, v — скорость распространения волны.

Для описания движения микрочастицы введём функцию = (x, y, z, t), связанную с длиной волны де Бройля (смысл этой функции рассмотрим ниже). В этих обозначениях получим

	(10)

где v — скорость распространения волны де Бройля.

Решением этого уравнения будет уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль оси ОХ

(11)

Возьмём вторую частную производную уравнения (11) по времени, то есть продифференцируем его два раза по t

	(12)

Полученный в (12) результат подставим в волновое уравнение (10)

	(13)

Поскольку v/ = , то можем записать ( /v)² =1/()². Теперь, зная, что длина волны де Бройля = h/(mv), получим

( /v)2 = (mv)2/(h)2.	(14)

Далее имеем

(mv)2 = 2m(mv)2/2 = 2mWкин = 2m(E - U),

(15)

 

где
	E Wкин U	— полная, — кинетическая, — потенциальная энергия частицы.

С учётом (14) и (15) из (13) получаем

	(16)

Уравнение (16) называется одномерным стационарным уравнением Шредингера.

В случае движения частицы в любом (не только по оси ОХ) направлении, то уравнение (16) принимает вид

	(17)

Здесь — оператор Лапласа. Применение его к пси-функции даёт — лаплассиан .

В общем случае волновое уравнение является функцией двух видов переменных. Как уже говорилось, уравнение Шредингера в виде (16) и (17) не зависит от времени и записано для стационарного случая, при котором волновая функция не зависит от времени: в уравнении (16) = (x), а в уравнении (17) = (x, y, z).

При учёте времени как ещё одной переменной, = (x, y, z, t) и уравнение Шредингера принимает вид

	(18)

В виде (18) уравнение получило название временн го уравнения Шредингера.

Уравнение Шредингера имеет определённые ограничения. Во-первых, оно справедливо лишь при малых (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростях движения частицы, когда v<< c. Во-вторых, уравнение Шредингера не описывает процессы, происходящие с изменением числа взаимодействующих частиц, их рождением или аннигиляцией, и не учитывает внутренних степеней свободы частиц, таких, например, как спин.

Релятивистский вариант этого уравнения (когда v c.) был получен Полем Дираком (здесь мы его не рассматриваем).

Записанные выше (16) и (17) стационарные варианты уравнения Шредингера получаются из временн го уравнения (18) при не учёте фактора времени.

Уравнения, полученные Шредингером, играют такую же роль в нерелятивистской квантовой механике, что и уравнения Максвелла в классической электродинамике или уравнения Ньютона в классической механике.

Уравнение Шредингера записано для частицы, движущейся в поле, характеризуемом потенциальной энергией U. При решении этого уравнения надо задать вид потенциального поля и закон изменения U. Из решения этого уравнения следует закон квантования энергии для частиц, совпадающий с правилами, введёнными Бором при разработке теории атома водорода. Однако здесь он получается естественным путём, как результат решения, а не искусственно постулируетс я, как у Бора.

Приведённые в этом разделе рассуждения не претендуют на вывод уравнения Шредингера. По сути, уравнение (18) постулируется, а об его справедливости судят, сравнивая следствия из этого уравнения с результатами экспериментов.

Именно благодаря экспериментальным свидетельствам и можно с уверенностью утверждать, что уравнение Шредингера успешно описывает поведение микрообъектов в нерелятивистском приближении.

Допустим, что имеется столь слабый поток частиц, что сквозь щель проходит один электрон за другим через большой промежуток времени. Уравнение Шредингера не позволяет точно предсказать, в какое именно место экрана попадёт конкретный электрон. Это уравнение даёт только вероятность распределения частиц по экрану после прохождения щели. Однако, если эксперимент продолжать достаточно долго, так, чтобы на экран попало большое количество частиц, возникает обычная дифракционная картина.

Рис. 5

На рис. 5 приведены результаты расчёта по уравнению Шредингера дифракции такого слабого пучка электронов на одной щели (сплошная синяя линия). На неё наложена ступенчатая кривая, показывающая распределение отдельных частиц, регистрируемых чувствительным счётчиком.

Следовательно, теория предсказывает только статистический результат, то есть то, что произойдёт в среднем, за большой промежуток времени.

Волновая функция

Попробуем теперь разобраться, что представляет собой введённая в предыдущем параграфе волновая функция = (x, y, z, t),.

Рис. 4. Распространение плоского волнового фронта

Для этого рассмотрим в общем виде плоскую волну, которая распространяется в направлении нормали On (см. рис.4). Колебания в плоскости волнового фронта волны АВ запишем в комплексном виде

= 0 exp(-2 i t),

(19)

где ₀ — амплитуда, — частота, t — время. Через некоторое время фронт волны переместится и займёт положение A'B'.

Колебания в плоскости этого нового волнового фронта выразятся формулой

= 0 exp[ -2 i (t - )].

(20)

Будем отсчитывать от точки О расстояние r в некотором произвольном направлении, составляющем угол с нормалью On. Тогда

(21)

 

Здесь
	— единичный вектор, отложенный в направлении нормали On, — скалярное произведение векторов и , v — скорость распространения волны в направлении нормали On.

Подставив это значение в (21) и приняв во внимание, что =v/ , получим

(22)

Применим это выражение для описания пучка частиц, характеризующихся длиной волны де Бройля.

Направление нормали совпадает с направлением скорости частиц v, таким образом, окажется равным

(23)

где — вектор количества движения.

Далее воспользуемся оптической аналогией. Выражение (23) кроме длины волны содержит и частоту . В квантовой теории частота кванта связана с его энергией соотношением Е = h . По аналогии с этим положим, что частота связана с энергией частицы W выражением = W/h.

Тогда для волны, характеризующей пучок частиц постоянной скорости, из (22) и учётом (23) получим

(24)

 

Функция называется волновой функцией или просто (пси)-функцией, 0 является амплитудой пси-функции.

 

Примечание

Чтобы привести экспоненциальную форму представления волновой функции в тригонометрическую воспользуемся формулами Эйлера. Для этого перепишем (24) в виде

Отсюда по Эйлеру получаем

Ограничившись действительной частью, переходя к одномерному случаю и учитывая, что , окончательно получаем

(24')

Выражение (24') полностью совпадает с выражением (11), использованном выше при выводе уравнения Шредингера.

В квантовой механике волновая -функция полностью описывает все свойства частицы, но, как это ни может показаться странным, сама по себе волновая функция физического смысла НЕ имеет.

 

Физический смысл имеет только квадрат модуля волновой функции, который пропорционален вероятности нахождения частицы в заданной области пространства.

Таким образом, вероятность dw того, что частица при измерении находится в объёме dV около точки с координатами (x, y, z), равна

dw = 2 dV	(25)

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой микрочастицы она должна удовлетворять следующим условиям:

1. -функция должна быть непрерывна и однозначна. Это значит, что она не должна изменяться скачком и вместе с тем должна давать однозначное указание о вероятности того или иного состояния частицы.

 

 

2. Так как 2 имеет смысл плотности вероятности, то должно выполняться условие (26) называемое условием нормировки волновой -функции. Физический смысл этого условия заключается в том, что если частица действительно существует, то вероятность обнаружения её в какой-либо области пространства является достоверным событием и равна единице.

Такая трактовка свойств волновой функции принадлежит немецкому физику Максу Борну и подтверждена огромным количеством экспериментов.