В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемый объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот к примеру, одна из его задач.
Задача. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»
Диофант рассуждал следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+х,
другое же меньше, т.е. 10 ─ х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение
(10 + х)(10 ─ х)=96,или же 100 ─ х2 =96,
х2─4=0
х=2
Одно из искомых чисел равно 12,другое 8. Решение х=-2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Если мы решаем эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
|
|
у(20─у)=96, у2─20у+96=0
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.
Задание ученикам
ЗАДАЧА: «Решить следующие квадратные уравнения из «Арифметики» Диофанта:
1) 12х2+х=1; 2)630х2+73х=6»
Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило
решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2+вх=с, а>0.
В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования
В решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
ЗАДАЧА
«Обезьянок резвых стая, А двенадцать по лианам…
Всласть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…
Их в квадрате часть восьмая, Сколько ж было обезьянок,