Критерий Найквиста (1932 г.)

Амплитудно-фазо-частотный критерий устойчивости АСУ был предложен Найквистом (американец) в 1932 г. для исследования устойчивости усилителей с обратной связью в радио-электроннике.

В 1936 г. Ленинградский ученый Михайлов с успехом обобщил этот критерий и развил применительно к устойчивости АСУ, который доказал математически и показал на примере применимость критерия Найквиста к любым замкнутым АСУ при анализе их в разомкнутом состоянии.

Критерий Найквиста гласит: АСУ устойчивая в разомкнутом состоянии будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф амплитудно-фазо-частотной характеристики не охватывает точку на комплексной плоскости с координатами (–1; j0).

1, 2 – устойчивая система, 3 – неустойчивая система

Рисунок – Годограф Найквиста

 

Рисунок – Годограф Найквиста [Wpаз(jω)]устойчивой системы (1) и неустойчивой (2)при устойчивой разомкнутой системе (а), устойчи­вой системы при неустойчивой разомкнутой системе (б) и системы, находящейся на границе устойчивости (в).

 

1)

I – у = к₁∙х – усилительное звено

II – Т∙р∙у + у = к₂∙х – апериодическое звено

III – Т₃²∙р²∙у + Т₂∙р∙у + у = к₃∙х – колебательное устойчивое звено

 

 

2) Составим структурную схему:

 

3) Определяем передаточные функции на основании заданных уравнений:

4) Размыкаем обратную связь и определим результирующую передаточную функцию всей системы

Делаем подстановку значений передаточной функции звеньев, раскрываем скобки в знаменателе и приводим знаменатель к суммам, слагаемые которых по убыванию степени р.

к₁∙к₂∙к₃ = А

Т₃² = а ₃; Т₂Т₁ + Т₃² = а ₂; Т₁ + Т₂ = а ₁; 1 = а ₀.

В полученную передаточную функцию разомкнутой системы подставляем вместо р мнимый аргумент jω = p и определяем комплексный коэффициент передачи:

(из теории комплексных чисел), j² = -1, j³ = -j, j⁴ = 1, j⁵ = j, j⁶ = -1, …

5) Давая различные значения частоте ω от 0…∞ и подставляя значение частоты в действительную и мнимую части ККП мы определим координаты годографа АФХ

По полученным результатам

ω
R(ω)
J(ω)

 

Годограф Найквиста

Из годографа видно, что система неустойчива (год 2)

год 1 – устойчивая система,

если проходит через точку (–1;j0) – система на гране устойчивости