Решение задачи 1
Рассмотрим последовательность построения шестигранной пирамиды, усеченной тремя плоскостями частного положения:
1. Выбираем из таблицы 1 высоту h пирамиды, диаметр d окружности, в которую вписано шестиугольное основание истроим три проекции шестигранной пирамиды (рис.3а).
Рис. 3
Основание пирамиды строится по рекомендациям, приведенным в таблице 4 для шестиугольника, а в таблице 5 – для пятиугольника.
2. Выбираем из таблицы 1 параметры a, b, c, еистроим фронтальную проекцию секущих плоскостей (рисунок 3б). Боковой вырез в пирамиде образован тремя плоскостями: профильной плоскостью уровня Q, проведенной на расстоянии a=5 мм слева от оси; горизонтальной плоскостью уровня G, проведенной на расстоянии c=45 мм от вершины пирамиды; фронтально проецирующей плоскостью T, проходящей через левую вершину основания (e=0 мм) и пересекающейся с плоскостью G в точке Е. Точка Е лежит в плоскости G и смещена вправо от вертикальной оси на расстояние е=14 мм. Плоскость Q пересекается с ребрами пирамиды в точках A2, B2 и (B2¢), а с плоскостью Г по прямой С2(С2¢).
Плоскость G пересекается с ребрами пирамиды в точках D2, и (D2¢), а гранями пирамиды по прямымC2D2, D2E2, (C2¢)(D2¢) и с (D2¢)(E2¢). Плоскость T пересекается с ребрами пирамиды в точках F2, (F2¢), G2, (G2¢) и H2, а с гранями пирамиды по прямымE2F2, F2G2, G2H2,H2(G2¢), (G2¢)(F2¢), и (F2¢)(E2¢). На фронтальной проекции симметричных точек, обозначенных буквами со штрихом, не показаны. Отсеченная часть пирамиды показана тонкой линией.
3. Строим горизонтальную проекцию линии пересечения пирамиды с секущими плоскостями Q, G и T (рис.3в).
3.1. Строим горизонтальные проекции точек A1, B1, D1, F1, G1 и (A1'), (B1', (D1'), (F1'), (G1'). Для этого из фронтальных проекций этих точек проводим вертикальные линии связи до пересечения с соответствующими ребрами и линиями пирамиды.
3.2. Строим проекцию линии пересечения плоскости G с гранями пирамиды. Для этого:
– обозначаем фронтальную проекцию l 2 линии lпересечения плоскости уровня G с шестигранной пирамидой (прямая линия);
– строим горизонтальную проекцию l 1 линии l пересечения плоскости G с пирамидой (в сечении получен шестиугольник подобный основанию);
– строим горизонтальные проекции точек C1, (C1'), E1 и (E1') и соединяем их отрезками прямых линий.
3.3. Строим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости T с пирамидой. Для этого соединяем полученные точки E1, F1, G1, H1, (G1¢), (F1¢), (E1¢) отрезками прямых линий.
4. Строим профильную проекцию линии пересечения пирамиды плоскостями (рис.3г). Проекции всех точек кроме точек E3 и (E3¢) лежат на очерковых линиях профильной проекции.
4.1.Строим проекции точек E3 и (E3¢) в такой последовательности:
– измеряем на горизонтальной проекции расстояние yE по оси Y от оси Х симметрии до точки Е1;
– откладываем это расстояние по оси Y на профильной проекции пирамиды. Расстояние yE откладывается на горизонтальной линии связи, вправо и влево от оси симметрии.
4.2. Соединяем полученные точки отрезками прямых линий. Невидимые проекции точек обозначаем в круглых скобках.
Решение задачи 2
Рассмотрим пример построения линии пересечения конуса и сферы способом секущих плоскостей.
Задано: конус (высота H=100 мм,радиус основания R=45 мм), и сфера (радиус r =35 мм). Центр сферы смещен вверх на расстояние a= 40 мм от основания конусаи вправо на расстояние b =25 мм от оси вращения.
Последовательность построения линии пересечения конуса и сферы такова:
1. Строим две проекции конуса и сферы по исходным данным(рис.4а).
2. Отмечаем на фронтальной проекции опорные точки A2 и B2 – точки пересечения очерковых линий конуса со сферой и находим горизонтальные проекции A1 и B1 точек А и В (рис. к 4б). Проекции линии пересечения двух поверхностей находятся между точками A2 и B2, т.е. в зоне наложения проекций конуса и сферы.
3. Строим промежуточную точку D линии пересечения (рисунок 4в). Для этого:
– строим фронтальную проекцию G2 вспомогательной секущей плоскости G. Эта плоскость пересекает коническую поверхность по окружности m2 радиусом RК, а сферу – по окружности n2 радиусом RС;
– строим горизонтальные m1 и n1 проекции окружностей m и n и определяем точки D1 и D¢1 пересечения этих окружностей;
–строим фронтальные проекции точек D2 и D¢2 точки D. Для этого проводим из точек D1 и D¢1 линии связи до пересечения с фронтальной проекцией m2 и n2 окружностей m и n в точках D2 и D¢2.
На чертеже точки обозначенные буквами со штрихом не обозначены.
4. Повторяем предыдущую операцию необходимое число раз и определяем проекции промежуточных точек C, E, F, G.
5. Соединяем полученные точки линией с учетом её видимости в проекциях (рис.4г).Обводим штриховой линией невидимую часть очерковой линии сферы и конуса на фронтальной проекции между точками А2 и В2 и горизонтальную проекцию очерковой линии сферы и конуса между точками А1 и В1.
Точка экстремума на фронтальной проекции линии пересечения определяется с помощью способа сфер (точка D2 на рис.5.5в).
Рассмотрим пример построения линии пересечения конуса и сферы способом секущих сфер.
1. Строим две проекции конуса и сферы по заданным ранее параметрам (рис.5а) и определяем фронтальную проекцию О2 центра О секущих сфер-посредников.
2. Определяем фронтальные проекции опорных точек A2 и B2 – точек пересечения очерковых линий конуса со сферой и строим горизонтальные проекции этих точек – A1 и B1 (рис.5б).
Помним, что линия пересечения поверхностей должна находиться в зоне наложения проекций конуса и сферы.
3. Определяем минимальный и максимальный радиусы сфер-посредников (рис.5б). Для определения минимального радиуса Rmin сфер необходимо из центра сфер провести перпендикуляр О2К2 к образующей конуса О2К2 = Rmin. Максимальный радиус Rmax сферыравенрасстоянию от центра О2 до наиболее удаленной точки В2 пересечения очерков поверхностей, т.е. Rmax= О2В2.
4. Строим промежуточные точки линии пересечения конуса и сферы (рис. 5в).
4.1. Строим фронтальную проекцию Г2 вспомогательной сферы Г минимального радиуса.
Рис. 4
Для чего: – из центра O2 сфер строим фронтальную проекцию Г2 вспомогательной сферы Г, радиусом Rmin= O2K2, которая касается конической поверхности по окружности m, а заданную сферу пересекает по окружности n; 4.2. Строим точки D2 и (D2') пересечения окружностей m2 и n2. 4.3. Определяем горизонтальные проекции D1 и (D1') точек пересечения D и (D') окружностей. 4.4. Строим еще несколько вспомогательных сфер-посредников Г1…Г4, которые могут пересекать конус по двум окружностям, а сферу по одной окружности. 4.5. Строим проекции промежуточных точек линии пересечения поверхностей. 4.6. Соединяем полученные точки сплошной толстой линией с учетом её видимости в проекциях (рис. 5г). Рис. 5 4.3. решение задачи 3 Рассмотрим пример построения развертки усеченной пирамиды (рис. 6) способом триангуляции. Развертка пирамиды состоит из боковой поверхности S123456, состоящей из шести треугольников S12,…S61, основания – правильного шестиугольника123456 и плоскостей, полученных при сечении пирамиды секущими плоскостями. При построении развертки пирамиды будем придерживаться следующей последовательности: 1. Строим полную развертку боковой поверхности пирамиды по ребру S4 = b и стороне основания шестиугольника 34 = dизмеренными нарис. 6. Рис. 6 2. Переносим на развертку опорные точки ABCDEFG1 выреза, как точки, лежащие на ребрах пирамиды. Расстояние от вершины до соответствующей точки определяется на ребре S1 (рис. 6). Например, истинное расстояние от вершины S до точки D равно S2D0 (рис. 6). Откладываем отрезок S2D0 на образующей S0D0, построенной на развертке (рис. 7). Точки С и Е, лежащие на линии пересечения граней пирамиды с плоскостью Г, строим на развертке следующим образом: – проводим через фронтальные проекции С2 и Е2 точек С и Е проекции S2K2 и S2M2 линии посредники SKи SM (рис. 6); – достраиваем горизонтальные проекции S1K1 и S1M1 линий посредников SKи SM; – строим линии посредники S0K0 и S0M0. Для этого откладываем на развертке отрезки21К1 и 31М1 от точек 20 и 30 соответственно (рис. 7); – проводим из точки D0 прямые линии параллельные линиям 2030 и 3040 до пересечения с линиями S0K0 и S0M0 в точках Е0 и С0. 3. Определяем развертки фигур, полученных в результате сечения пирамиды плоскостями. Натуральная величина фигуры ABCC1B1A, полученной от сечения профильной плоскостью Qравна замкнутому контуру A3B3C3C3'B3'A3. Симметричные точки со штрихами на рис. 6 не обозначены. Натуральная величина фигуры CDEE'D'C', полученной от сечения горизонтальной плоскостью Г равна замкнутому контуру C1D1E1E1'D1'C1' (рис. 6). Рис. 7 |
Натуральная величина фигуры 1GFEE'F'G' сечения фронтально проецирующей плоскостьюТ равна контуру 12G2F2E2E2'F2'G2', полученной способом замены плоскостей проекций (рис.8).
Рис.8
4. Строим развертку основания пирамиды и развертку фигур, полученных от сечения плоскостями Q, ГиТ (рис. 9).
Рис. 9
Полная развертка пирамиды приведена на рис. 1.