2017-12-14
1013
Если в эксперименте рассматриваются четыре фактора (k=4), то в предполагаемой линейной имитационной математической модели, соответствующей полиному первого порядка, имеем
Y=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4+b12X1X2+b13X1X3+
+b14X1X4+b23X2X3+b24X2X4+b34X3X4+b123X1X2X3 + (7.7)
+b124X1X2X4+b234X2X3X4+b134X1X3X4+b1234X1X2X3X4.
При планировании ПФЭ типа 24, необходимо было бы провести минимум 16 опытов для определения 16-ти коэффициентов, входящих в полином (7.6).
Полуреплика от этого плана ПФЭ будет включать 8 опытов, а соответствующую матрицу ДФЭ типа 24-1 можно построить на базе матрицы планирования ПФЭ типа 23, заменив одно из взаимодействий, приведенных в таблице 6.2, на четвертый фактор.
Рассмотрим в качестве генерирующих соотношений одно, из числа низкого порядка, например X4=X1X2, а другое – из числа самого высокого порядка, в данном случае X4=X1X2X3.
На основании выбранных ГС найдем соответствующие ОК:
1=X1X2X4; 1=X1X2X3X4.
С помощью найденных ОК составим две системы совместных оценок:
X1=X2X4, X1=X2X3X4,
X2=X1X4, X2=X1X3X4,
X3=X1X2X3X4, X3=X1X2X4,
X4=X1X2, X4=X1X2X3,
X1X3=X2X3X4, X1X2=X3X4,
X2X3=X1X3X4, X1X3=X2X4,
|
|
|
X3X4=X1X2X3, X2X3=X1X4.
Приведенные оценки двух полуреплик от ПФЭ 24 получены для двух выбранных ГС, когда взаимодействия факторов приравниваются к независимой переменной (в данном случае, к четвертому линейному фактору X4). При ГС X4=X1X2 (левая колонка системы совместных оценок), член, учитывающий парное взаимодействие факторов X1 и X2 (b12X1X2) будет заменен в уравнении (6.5), а следовательно, и в матрице (таблица 6.2), на член, учитывающий влияние четвертого фактора X4 на функцию отклика, что соответствует плану ДФЭ 24-1 и имитационной математической модели вида
Y=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4+b13X1X3+b23X2X3+b123X1X2X3 (7.8)
Для ГС X4=X1X2X3 план ДФЭ 24-1 будет соответствовать модели вида
Y=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4+b12X1X2+b13X1X3+b23X2X3 (7.9)
В обоих случаях потребуется провести 8 опытов для определения 8 коэффициентов, входящих в уравнения (7.8) и (7.9).
Однако разрешающая способность дробной реплики ГС X4=X1X2X3 для раздельной оценки коэффициентов b1, b2, b3, b4 при линейных членах полинома будет выше потому, что все линейные факторы не смешаны с парными взаимодействиями, в то время, как для ГС X4=X1X2 три из четырех линейных факторов смешаны с парными взаимодействиями.
Задачи для решения
В таблице приведены результаты проведения дробного факторного эксперимента. Провести обработку и анализ результатов ДФЭ по рассмотренной методике.
Вариант 1
| Вариант 2
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 3
|
Вариант 4
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 5
|
Вариант 6
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 7
|
Вариант 8
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 9
|
Вариант 10
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 11
|
Вариант 12
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 13
|
Вариант 14
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Контрольные вопросы
1. Что называется дробным факторным экспериментами?
2. В каких случаях возможно планирование ДФЭ?
3. Как можно оценить разрешающую способность матрицы ДФЭ?
4. Что такое генерирующее соотношение и как оно выбирается?
5. Что такое определяющий контраст и как с его помощью составляется система совместных оценок?
6. Указать преимущества факторного планирования эксперимента перед другими способами проведения активного эксперимента и пассивным экспериментом?
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ ПЛАНЫ
Разработка математической модели предусматривает принцип «от простого к более сложному», то есть постепенный переход исследователя от «грубой» модели к моделям, более точно описывающим исследуемый процесс.
В имитационной модели, соответствующей полиному (6.1), этот принцип предусматривает в качестве следующего шага переход от полинома 1-го порядка вида (3.3) к полиному 2-го порядка (6.7).
Шаговое движение к экстремуму продолжается до тех пор, пока исследователь не достигнет области, близкой к экстремуму (или «почти стационарной»), которая не может быть описана линейным приближением. Здесь уже становятся значимыми квадратичные эффекты. Близость к «почти стационарной» области можно установить, поставив ряд экспериментов в центре плана, определив среднее значение функции отклика 
и сравнить его с теоретическим значением b0, исходя из предполагаемой имитационной модели в виде полинома 1-го порядка (6.3).
Вычисляемое для линейного уравнения значение b0 при реализации факторного эксперимента (ПФЭ и ДФЭ) в «почти стационарной» области является совместной оценкой для свободного члена и суммы квадратичных членов, так как безразмерные значения, стоящие в соответствующих столбцах матрицы ПФЭ, будут одинаковыми. Поэтому разность b0– 
может дать представление о кривизне поверхности отклика.
«Почти стационарную» область обычно удается описать с достаточной точностью полиномом 2-го порядка (6.7).
Как уже говорилось в практическом занятии №6 число уровней изменения каждой из независимых переменных должно быть на единицу больше порядка полинома. Поэтому при увеличении числа учитываемых факторов применение ПФЭ типа 3k не рационально, так как это планирование характеризуется резким увеличением объема эксперимента.
|
|
|
Сократить число опытов можно, используя центральные композиционные планы (ЦКП), ядром которых являются линейные ортогональные планы. Преимущество этих планов – для получения модели более высокого порядка достаточно добавить несколько специально спланированных экспериментальных точек к уже существующим (в которых был проведен ДФЭ или ПФЭ).
Общее число опытов центрального композиционного плана при k факторах составит
N = NФЭ + Nα + N0, (8.1)
где NФЭ = 2k – число точек ПФЭ или ДФЭ;
Nα = 2k –число «звездных точек»;
N0 – число опытов в центре плана.
Пример Построение ЦКП можно объяснить на примере с тремя независимыми переменными, соответствующими трем факторам X1, X2, X3. Предположим, что для нахождения линейной модели применен ПФЭ 23, экспериментальные точки которого находятся в вершинах куба (рисунок 5.1). В результате анализа экспериментальных данных установлено, что имитационная математическая модель в виде полинома 1-го порядка не адекватна исследуемому процессу.
X2
(-1;1;-1) (1;1;-1)
α
(-1;1;1) (1;1;1)
(0;0;0) X1
(-1;-1;-1) (1;-1;-1)
α
(-1;-1;1) (1;-1;1)
X3 α
Рисунок 8.1 – Расположение экспериментальных точек в плане, соответствующем полиному 2-го порядка для трех независимых переменных
Тогда в центре плана проводится опыт, условия которого в матрице планирования эксперимента отображаются нулями для безразмерных величин всех факторов.
Для повышения достоверности полученного экспериментального значения функции отклика Y0 в центре плана, опыты повторяют при неизменных нулевых значениях факторов. Подсчитанное среднее значение функции отклика сравнивают с теоретическим значением b 0. При подтверждении неадекватности линейной модели ставятся дополнительные опыты для значений факторов, превышающих их абсолютные значения по верхнему и нижнему уровням.
Таким образом, в ПФЭ 23, к ранее проведенным восьми опытам добавляются еще семь опытов (включая опыт в центре плана), шесть из которых соответствуют «звездным точкам». «Звездные точки» (рисунок 8.1) представляют собой два уровня варьирования, каждым из трех факторов, значения которых лежат за пределами граней куба.
|
|
|
Как видно на рисунке 8.1, все «звездные точки» расположены на расстоянии большем, чем ±1 от центра плана и лежат на поверхности сферы диаметром 2α.
При построении планов используют различные критерии оптимальности планирования. Наиболее широкое применение получили следующие планы:
– ортогональные;
– рототабельные;
– D-оптимальные.
При ортогональном планировании коэффициенты уравнения полинома оцениваются независимо с минимальными дисперсиями, причем факторы с незначимыми коэффициентами можно сразу отбрасывать, без пересчета оставшихся значимых коэффициентов, как это необходимо при неортогональных планах.
рототабельные планы позволяют получать уравнения регрессии, предсказывающие значения выходной величины объекта с одинаковой точностью во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана.
Точность оценивания коэффициентов полинома характеризуется эллипсоидом рассеяния их оценок. Планирование, при котором требуется, чтобы объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов был минимальным, называется D-оптимальным.
8.1 Центральный композиционный ортогональный план (ЦКОП)
Планирование и проведение эксперимента
При составлении матрицы планирования эксперимента этот план предусматривает проведение только одного опыта, условия которого соответствуют начальным значениям всех учитываемых факторов (в центре плана), то есть N0 = 0. Поэтому для ЦКОП выражение (8.1) примет вид
N = 2k + 2k + 1, (8.2)
Соответствующая матрица ЦКОП для имитационной модели исследуемого процесса, соответствующая полиному 2-го порядка при k=3, приведена в таблице 8.1. Условие ортогональности матрицы выполняется только для линейных членов соответствующего полинома 2-го порядка, представляющего собой имитационную модель вида
Y = b0+b1X1+b2X2+b3X3+b12X1X2+b13X1X3+ (8.3)
+b23X2X3+b123X1X2X3+b11X21+b22X22+b33X23
Для приведения матрицы к ортогональному виду необходимо провести преобразование квадратичных переменных X2ixб.
(8.4)
где 
– преобразованное (п) безразмерное (б) квадратичное значение i-го фактора, соответствующее x-му опыту.
Для выполнения условия ортогональности матрицы ЦКОП, помимо преобразования столбцов, соответствующих квадратичным членам полинома (8.3), и приведения значений, стоящих в них, к виду (8.4), необходимо величину звездного плеча a выбирать соответственно:
при k < 5
a4+2ka2-2k-1(k+0,5)=0; (8.5)
при k ³ 5
a4+2k-1a2-2k-2(k+0,5)=0. (8.6)
Таблица 8.1 – Матрица центрального композиционного ортогонального плана
| Группы точек | Номер опыта | X0б | X1б | X2б | X3б | X1бX2б | X1бX3б | X2бX3б | X1бX2бX3б | X21б | X22б | X23б | Yx |
| NПФЭ | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | Y1 | |
| +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | –1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | Y2 | ||
| +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | +1 | Y3 | ||
| +1 | +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | +1 | +1 | Y4 | ||
| +1 | –1 | –1 | +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | +1 | +1 | +1 | Y5 | ||
| +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | +1 | +1 | +1 | Y6 | ||
| +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | Y7 | ||
| +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | Y8 | ||
| Nα | +1 | –α | +α2 | Y9 | |||||||||
| +1 | +α | +α2 | Y10 | ||||||||||
| +1 | –α | +α2 | Y11 | ||||||||||
| +1 | +α | +α2 | Y12 | ||||||||||
| +1 | –α | +α2 | Y13 | ||||||||||
| +1 | +α | +α2 | Y14 | ||||||||||
| N0 | +1 | Y15 |
Ядро ЦКОП при k<5 составляет, как правило, ПФЭ типа 2k, а при k³5 – ДФЭ типа 2k-1, так как во втором случае полуреплика от ПФЭ вполне обеспечивается возможность независимой оценки линейных членов полинома (8.3) и членов, учитывающих эффект взаимодействия факторов.
Значения звездного плеча, подсчитанные на основании условий (8.5) и (8.6), приведены в таблице 8.2.
Таблица 8.2 – Значения звездного плеча ЦКОП
| k | ||||||
| a | 1,00 | 1,215 | 1,414 | 1,547 | 1,724 | 1,885 |
Преобразовав соответствующим образом матрицу ЦКОП, приведенную в таблице 8.1, получим матрицу ЦКОП, которая полностью соответствует условию ортогональности (таблица 8.3)
Таблица 8.3 – Преобразованная матрица ЦКОП, отвечающая требованиям ортогональности
| Номер опыта | X0б | X1б | X2б | X3б | X1бX2б | X1бX3б | X2бX3б | X1бX2бX3б | X21б | X22б | X23б | Yx |
| +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y1 | |
| +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | –1 | +1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y2 | |
| +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y3 | |
| +1 | +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | –1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y4 | |
| +1 | –1 | –1 | +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y5 | |
| +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y6 | |
| +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y7 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y8 | |
| +1 | –1,215 | 0,75 | –0,73 | –0,73 | Y9 | |||||||
| +1 | +1,215 | 0,75 | –0,73 | –0,73 | Y10 | |||||||
| +1 | –1,215 | –0,73 | 0,75 | –0,73 | Y11 | |||||||
| +1 | +1,215 | –0,73 | 0,75 | –0,73 | Y12 | |||||||
| +1 | –1,215 | –0,73 | –0,73 | 0,75 | Y13 | |||||||
| +1 | +1,215 | –0,73 | –0,73 | 0,75 | Y14 | |||||||
| +1 | –0,73 | –0,73 | –0,73 | Y15 |
Для приведенной в таблице 8.3 матрицы ЦКОП будет соответствовать имитационную модель следующего вида
Y = b′0+b1X1+b2X2+b3X3+b12X1X2+b13X1X3+b23X2X3+ (8.7)
+b123X1X2X3+b11(X21– 
)+b22(X22– 
)+b33(X23– 
).
Для перехода от модели (8.7) к модели (8.3), необходимо пересчитать коэффициент b0, который будет в (8.3) определяться
b′0= b′0 – b11 
– b22 
– b33 
или, в общем виде
(8.8)
Если выполняется условие (8.8), можно пользоваться полиномом 2-го порядка в общем виде для проведения эксперимента в соответствии с преобразованной матрицей ЦКОП.
При применении ЦКОП получение идентичной информации во всех направлениях исследуемого пространства невозможно, так как дисперсии ошибок определения коэффициентов полинома различны, то есть точность предсказания выходной величины (значения функции отклика Y) в различных направлениях факторного пространства неодинакова – информационные поверхности не являются сферами.
