Неравенство Коши-Буняковского

1 2 3

Теорема 3. Для любых чисел и выполняется неравенство

(8)

Действительно, положив в неравенстве (7)

Получим, обозначив через

Получено рекуррентное соотношение

Пользуясь им, последовательно найдем

Теорема доказана.

Известны неравенства о модулях, что

Поэтому из (8) получаем неравенство, называемое неравенством Коши-Буняковского в координатной форме

(8’)

Равенство (8) достигается при условии(6) а в (8) – при

(6”)

Если для всех то (8) и (8’) совпадают, если среди указанных произведений имеются числа разных знаков, то неравенство (8) дает оценку выражения снизу более точную, чем неравенство (8).

Пример. Докажите, что если то

Решение. Из неравенства (8) или (8’) получим

﴾ 4 ﴿

Заключение

В результате применения исследовательского и вычислительного методов, метода сравнения получены выводы:

Неравенства принадлежат к числу тех немногих понятий математики, которые имеют многовековую историю научного развития.

Прикладную ценность знаний о неравенствах заключается в том, что

неравенства используются как средства сравнения, оценки, а также знания способов решения неравенств и доказательства неравенств.

Изучение неравенств позволяет полнее раскрыть их научную и практическую значимость.

Исследовательский метод применения классических неравенств доказал возможность их использования при решении неравенств повышенной сложности.

Приведены в работе классические неравенства Бернулли, Коши, Гюйгенса и Коши-Буняковского, имеют важное значение в теории неравенств и в своих приложениях в математическом анализе, геометрии и алгебре.

На этом работа по данной теме не заканчивается, следующий вопрос, который вызывает интерес «Неравенство Бернулли.

Число e»

Литература

1. Г.И. Глейзер «История математики в школе» М., «Просвещение»1982г.

(глава 1, п.2,стр.12-15)

2. В.А.Никифоровский «Великие математики Бернулли»

М., «Наука» 1984г. (стр. 3-4, 31-35)

3. газета «Математика» №32, 1998г. (стр. 12-14)

Приложение к «Первое сентября»

4. газета «Математика» №15, 2005г. (стр.35-41)

Приложение к «Первое сентября»

5. Большая советская энциклопедия М., 1985г. том 13 (стр.895)