ПояснениЯ к решению задач

Для успешного прохождения этого раздела необходимо вспомнить сущность известных из главы 11 понятий, как, например, электрическое поле, напряженность поля, заряд, потенциал, смещение и тд.

Основу расчёта потенциальных полей составляет теорема Гаусса в интегральной и дифференциальной формах. В интегральной форме эта теорема записывается так:

,

где, ε΄ε₀ - диэлектрическая проницаемость среды, умножнная на диэлектрическую проницаемость вакуума; Е - вектор напряжённости электрического поля; dS -вектор элементарной площадки; Q - заряд, охватываемый поверхностью интегрирования S.

Та же теорема в дифференциальной форме, записанная через потенциал, часто называется уравнением Пуассона

или уравнением Лапласа

где: φ- потенциал поля; ρ- объёмная плотность заряда; - дифференциальный оператор, имеющий в прямоугольных координатах выражение

Первая запись соответствует случаю, когда в рассматриваемой точке поля имеется объёмный заряд с плотностью ρ, вторая запись соответствует случаю, когда в данной точке никаких зарядов нет. Решение, дающее потенциал электрического поля, будет единственно правильно, если оно:

1) удовлетворяет уравнению Лапласа во всём пространстве, лишенном зарядов,

2) удовлетворяет граничным условиям.

Существенным элементом расчёта поля является определение постоянных, получающихся при интегрировании уравнения Лапласа. Эти постоянные находятся из граничных условий.

Под граничными условиями в электростатическом поле понимается следующее:

1. Поверхности проводников должны быть эквипотенциальными;

2. Интегралы от вектора смещения по поверхностям проводников равны их суммарным зарядам;

Если имеем неоднородный диэлектрик, то должны быть соблюдены условия на границе раздела диэлектриков.

а) Е_1t=E_2t или ,

где t перемещение вдоль пути, лежащего на поверхности раздела диэлектриков;

б) D_1n=D_2n или ε΄₁ε_{0 ,}

где, n перемещение в направлении, перпендикулярном к поверхности раздела;

в) φ₁=φ₂ на границе, так как потенциал непрерывен. Из указанного выше условия единственности решения вытекают важные следствия, которые являются исчерпывающим обоснованием метода зеркальных изображений.

Следствие 1. Поле между двумя эквипотенциальными поверхностями не изменится, если рассматривать эти поверхности, как поверхности проводников, которыми сообщены соответствующие потенциалы.

Следствие 2. Поле внутри некоторой области не изменится, если истинное распределение зарядов вне этой области заменить фиктивным распределением, но обеспечивающим прежние граничные условия.