Проверка гипотезы о виде распределения

Применение критерия Пирсона для оценки гипотезы распределения случайной величины с помощью табличного процессора Excel.

Сравнив χ² _кр и χ² можно сделать вывод о значимости гипотезы: если
χ² _кр > χ², то гипотеза принимается с уровнем значимости a, в противном случае гипотеза отвергается.

В первую очередь, производится округление значений выборки до целого числа (рисунок 11А) и вычисление n_i (частоты выборочных значений x_i) (рисунок 11Б, ячейки F11:F15). Это возможно сделать воспользовавшись функцией =СЧЁТЕСЛИ( диапазон проверяемых значений; критерий по которому производится проверка ). Значений совпадают с результатами, полученными в предыдущем пункте (рисунок 10).

Рисунок 11.А Округление выборочных значений

Рисунок 11.Б Частота выборочных значений

 

Затем производится вычисление теоретической вероятности p_i выборочного значения x_i.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении используется функция =НОРМРАСП( x_i; среднее арифметическое; средне квадратическое отклонение; 1 ) (рисунок 12).

Рисунок 12. Теоретическая вероятность выборочного значения

 

Расчёт теоретической частоты n’_i выборочного значения x_i представлен на рисунке 13.

Затем вычисляется теоретическая частота выборочного значения x_i по формуле:

где n – количество наблюдений, объём выборки.

Рисунок 13. Теоретическая частота выборочного значения

 

Наблюдаемое значение случайной величины χ² определяется по формуле:

.

Для упрощения написания формулы в табличном процессоре порядок расчета наблюдаемого значения случайной величины можно разделить на два действия: деление (диапазон ячеек I11:I15) и сумма результатов деления (ячейка I16) (рисунок 14).

Рисунок 14. Вычисление наблюдаемого значения случайной величины χ²

 

Критическое значение случайной величины χ2 (рисунок 15) определяется с помощью функции:

χ2 _кр =ХИ2ОБР (a,r),

где a – уровень значимости, требуемая вероятность (принимается равной значению 0,05),

r – количество степеней свободы.

Расчет количества степеней свободы производится по формуле:

,

где k – количество категорий (количество различных округлённых значений),

р – количество оцениваемых параметров закона распределения.

Из рисунка 14 видно (ячейки E11:E15), что имеется 5 различных округлённых значений оцениваемой случайной величины (количество категорий k). Так как рассматривается гипотеза о нормальном распределении, то оцениваются два параметра (среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение), то есть количество оцениваемых параметров p равно 2. Тогда количество степеней свободы равно 2.

 

Рисунок 15. Критическое значение случайной величины

 

Так как неравенство χ² < χ² _кр выполняется, тогда гипотеза о том, что выборка случайной величины подчиняется закону нормального распределения при уровне значимости a = 0,05, является верной.