2017-12-16
4397
В практике испытания конструкций зданий и сооружений применяют два основных способа накопления исходных статистических данных для последующей математической обработки: пассивный и активный эксперимент.
Эксперимент - это система операций, воздействий и наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских испытаниях. Составной его частью является опыт – воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов.
Пассивный эксперимент основан на регистрации экспериментальных данных в процессе испытаний строительных материалов, конструкций и сооружений при изменении внешней нагрузки по заданной программе. При этом анализируют возникающие в конструкции напряжения и её деформации.
Активный эксперимент проводят по специально разработанному плану. Однако переход к активному эксперименту возможен лишь тогда, когда накоплены в достаточном объеме исходные данные и имеется статистическая оценка разнообразных факторов, одновременно действующих на сооружение.
Выбрать наиболее важные независимые переменные и оценивать статистическими методами их влияние на исследуемую величину позволяет дисперсионный анализ. Если необходима оценка влияния только одной переменной, применяют однофакторный дисперсионный анализ, а при исследовании влияния двух или нескольких переменных – двух или многофакторный комплекс.
Дисперсионный анализ применим при взаимной независимости результатов измерений, подчиненных нормальному закону распределения, при линейной зависимости анализируемой величины от рассматриваемых факторов и тождественности дисперсий.
Методика однофакторного дисперсионного анализа состоит в следующем. Пусть в результате исследования определены mсовокупностей значений независимой величины Х, причем в каждой группе опытов получена выборка объемом n. Каждая группа результатов измерений рассматривается как выборка из генеральной их совокупности, в которой каждый результат обозначается xij, где i–номер опыта (i=1,2,…, n).Такую выборку можно представить в виде матрицы (табл. 5.1).
Таблица 5.1- Матрица наблюдаемых значений величины Х
| i | Номер уровня независимой переменной фактора - j | |||
| … | n | |||
| X11 | X12 | … | X1n | |
| X21 | X22 | … | X2n | |
| … | … | … | … | … |
Среднее арифметическое результатов каждой группы измерений
(5.23)
Общее среднее арифметическое результатов всех измерений
(5.24)
Рассеивание результатов наблюдений оценивается величиной
(5.25)
Сумма квадратов отклонений результатов группы опытов
(5.26)
Полная сумма квадратов отклонений
Q=Q1+Q2(5.27)
Обработку результатов дисперсностного анализа ведут в табличной форме (табл. 5.2)
Таблица 5.2- Однофакторный комплекс
| Дисперсия результатов измерений | Сумма квадратов отклонений | Число степеней свободы | Средние квадраты отклонений |
| Межгрупповая | Q1 | m-1 | Q1/ (m-1) |
| Внутригрупповая | Q1 | m(n-1) | Q2/ (m(n-1)) |
| Полная | Q1 +Q2 | mn-1 | Q/ (mn-1) |
Оценку различия межгрупповой и внутригрупповой дисперсии производят по F- критерию Фишера-Снедекора:
(5.28)
В зависимости от числа степеней свободы k1=m-1, k2=m(n-1) и уровня значимости q можно определить критерий Fq. Если F≤ Fq, гипотезу о равенстве дисперсий считают подтвержденной, в противном случае её отвергают.
Когда на результаты исследования влияют два или больше число факторов, методика вычислений остается такое же, как и при однофакторном анализе, но увеличивается их объем.
Зависимость между двумя переменными случайными величинами может быть функциональной или вероятностной. При их функциональной зависимости по значению одной величины находят строго определенное значение другой(рис. 5.2,а). При вероятностной зависимости, имеющей место в большинстве случаев на практике, точное значение второй величины определить невозможно, можно установить лишь закон её распределения.
Зависимость между одной случайной величиной и условными средними значениями другой называют корреляционной зависимостью, которая характеризуется формой и теснотой связи (рис. 5.2, б, в). Такая зависимость характерна для случайных величин, распределенных по нормальному закону.
Наиболее простой является линейная корреляционная зависимость случайных величин X и Y, подчиняющихся нормальному закону распределения, которая характеризуется выборочным коэффициентом корреляции
(5.29)
где - средние соответственно арифметические значения величин X и Y и их квадратические отклонения, определяемые по формулам (5.12) и (5.19).
Рисунок 5.2- Зависимость между случайными величинами X и Y:
а) –функциональная (|zxy|=1); б), в) – корреляционная(zxy>0); г) – величины не коррелированны (zxy=0); 1- линейная регрессия; 2-нелинейная регрессия.
Эмперические уравнения регрессии:
(5.30)
Выборочный коэффициент корреляции характеризует степень приближения зависимости между случайными величинами к линейной, если его значение находится в пределах -1≤zxy≤1. При zxy=0между случайными величинами X и Y корреляционная зависимость отсутствует или они не коррелируемы.(рис. 5.2,г), а при |zxy|=1 между ними имеется линейная функциональная связь (см. рис. 5.2,а). Если zxy=0,5, теснота связи считается удовлетворительной, а если zxy=0,8-0,89 – хорошей.
В общем случае связь между X и Y не линейная и выражается степенной, показательной или другой функцией распределения. Если случайная величина зависит не от одной, а от нескольких случайных величин, то при линейной связи между величинами используют частный, совокупный коэффициент корреляции или коэффициент корреляции рангов. Ввиду большой трудоемкости соответствующие расчеты рекомендуется выполнять на ПЭВМ.
Тема 6
Планирование экспериментальных исследований. Уровень фактора, поверхность отклика, область планирования. Математическая модель эксперимента. Матрица планов экспериментальных исследований. Звездные точки, области экспериментирования.
Планирование эксперимента позволяет ускорить исследования, улучшить их качество и уменьшить трудоемкость. Его сущность состоит в выборе плана, удовлетворяющего заданным требованиям от начального до заключительных этапов изучения объекта исследования и реализуемого в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.
План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.
Фактор в теории планирования эксперимента – переменная величина, влияющая на его результаты. Для строительных конструкций это размеры сечений элементов, характеристики материалов и др.
Уровень фактора – фиксированное значение фактора относительно начала отсчета. Различают максимальный, минимальный и основной уровни факторов.
Наблюдаемую случайную переменную, зависящую от выбранных факторов называют откликом. Геометрическое представление функции отклика – поверхность отклика.
Часть факторного пространства, в котором находятся опытные точки, является областью планирования.
До проведения опытов отбирают факторы, оказывающие по предположению основное влияние на результат эксперимента. Уровни отображенных факторов должны быть детерминированы, совместимыми и некоррелированными.
При большом числе факторов проводится их ранжирование по степени значимости, чтобы обоснованно отбросить несуществующие из них. Варьирование факторов обычно ведут на двух уровнях – верхнем (с кодовым обозначением +1) и нижнем (-1) – или на трех – верхнем (+1), среднем (0) и нижнем (-1). Для упрощения записи единица может опускаться.
Математическая модель эксперимента записывается в виде функции:
Y =f(x1, x2, …, xn), (6.1)
где Y – отклик; x1, x2, …, xn– факторы.
Функцию (6.1) представляют в виде степенного ряда, коэффициенты которого определяют экспериментально:
(6.2)
В двухфакторном эксперименте уровни факторов x1 иx2варьируют на двух уровнях: максимальном (+1) и минимальном (-1). Интервалы варьирования ∆x1=ximax-ximinвыбирают так, что они не превышают удвоенной среднеквадратической ошибки измерения уровня i-го фактора.
Используют скользящую систему координат, начало которой совпадает с нулевым уровнем факторов
Xi0=(ximax-ximin)/2. (6.3)
Нормализацию факторов – преобразование натуральных их уровней в безразмерные – проводят по формуле
(6.4)
где xi – натуральное значение факторов;xi – натуральное значение фактора, соответствующее его основному уровню; ∆xi – интервал варьирования.
Для двухфакторного эксперимента все возможные комбинации будут исчерпаны четырьмя опытами (табл. 6.1).
Если оптимизируемая функция описывается линейным полиномом
Y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2(6.5)
Коэффициенты регрессии определяют по формулам
(6.6)
Таблица 6.1-Матрица плана эксперимента типа 22
| Номер опыта | х0 | х1 | х2 | х1 х2 | Yi |
| +1 | -1 | -1 | +1 | ||
| +1 | +1 | -1 | -1 | ||
| +1 | +1 | -1 | -1 | ||
| +1 | +1 | +1 | +1 |
Коэффициент регрессии значим и им пренебрегать нельзя, если
, (6.7)
гдеS2(X) – дисперсия коэффициента регрессии; tp–коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы, принятым при определении коэффициента регрессии.
Приемлемость линейного уравнения регрессии проверяют по критерию Фишера-Снедекора. Если результаты опытов с линейной моделью не согласуются, принимают модель второго порядка
Y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2+b11x12+b22x22, (6.8)
проводят 5-й опыт в центре плана (при Х1=Х2=0) и опыты в звездных точках 6-9 (табл. 6.2). На рис. 6.1 условия эксперимента представлены геометрически в виде квадрата, номера вершин которого соответствуют номерам опытов, а площадь квадрата – области экспериментирования.
Рисунок 6.1- Геометрическое изображение полного факторного плана эксперимента типа 22
| Номер опыта | х0 | х1 | х2 | х1 х2 | Yi |
| +1 | -1 | -1 | +1 | Y1 | |
| +1 | +1 | -1 | -1 | Y2 | |
| +1 | -1 | +1 | -1 | Y3 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | Y4 | |
| +1 | Y5 | ||||
| +1 | +1 | Y6 | |||
| +1 | -1 | Y7 | |||
| +1 | +1 | Y8 | |||
| +1 | -1 | Y9 |
Таблица 6.2- Матрица плана двухфакторного эксперимента
Матрицу плана для трех факторов, варьируемых на двух уровнях, получают из матрицы плана эксперимента для двух факторов, повторяя ее при значениях третьего фактора, заданного сначала на нижнем, а затем на верхнем уровне. Аналогично поступают при большем числе факторов, как это показано в табл. 6.3.
Таблица 6.3-Матрицы планов эксперимента для 2, 3, 4..5 факторов.
| Номер опыта | х0 | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 |
| -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | |
| +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | |
| +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | -1 | |
| +1 | +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | |
| +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | -1 | |
| +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | |
| +1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | -1 | -1 | |
| +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | -1 | |
| +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | |
| +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | -1 | |
| +1 | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | |
| +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | -1 | |
| +1 | +1 | -1 | +1 | +1 | -1 | |
| +1 | -1 | +1 | +1 | +1 | -1 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | -1 | |
| +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 | |
| +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | |
| +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | +1 | |
| +1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | |
| +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | +1 | |
| +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | |
| +1 | -1 | +1 | +1 | -1 | +1 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | -1 | +1 | |
| +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | |
| +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | |
| +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | +1 | |
| +1 | +1 | +1 | -1 | +1 | +1 | |
| +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | +1 | |
| +1 | +1 | -1 | +1 | +1 | +1 | |
| +1 | -1 | +1 | +1 | +1 | +1 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 |
С увеличением числа факторов реализация полного факторного плана эксперимента затрудняется ввиду значительного возрастания числа опытов. Например, при трех факторах необходимо провести 23=8 опытов, при четырех – 24=16, а при десяти 210=1024. Для сокращения числа опытов (кроме ранжирования факторов по степени значимости, о чем сказано выше) пользуются дробными репликами полного факторного плана, которые получают делением числа опытов в последнем на число, кратное двум. Так, при шести факторах потребуется проведение 26=64 опытов, полуреплика содержит вдвое меньше количество опытов – 26-1=32, а четверть реплика – в четыре раза меньше, т.е. 26-2=16.
Дробный факторный план позволяет получать регрессионные модели при меньшем числе опытов. Например, если на основании проведенного анализа установлено, что к существенным факторам относятся х0, х1, х2 и х3,но основными являются х1 и х2, а х3 зависит от взаимодействия двух первых факторов (х1х2), матрица полуреплики 23-1 будет соответствовать выделенной рамкой в табл. 6.3.
Процесс поиска адекватной математической модели обычно разбивают на несколько этапов. Вначале выполняют небольшую серию опытов для описания функции отклика полиномом первой степени. Если линейного приближения недостаточно, в следующей серии опытов движение к оптимуму осуществляется по кратчайшему пути. Процесс продолжают до тех пор, пока результаты не окажутся в области оптимума (рис. 6.2).
Рисунок 6.2- Движение по градиенту при активном эксперименте.
Пример Требуется рассчитать состав мелкозернистого бетона, соответствующего классу С 20/25 (В25) по прочности на сжатие и предназначенного для изготовления модели железобетонной рамы, при следующих исходных данных: портландцемент марки 400, модуль крупности песка Мкр=2,68, относительная влажность песка W=3,7%; условия твердения бетона – пропаривание по режиму 2+8+2 при t =80°С.
Основными факторами, влияющими на предел прочности бетона при сжатии, являются водоцементное отношение В/Ц (х1), относительное содержание в растворе песка П/Ц (х2). На основании предварительных опытов приняты основные уровни х1 и х2 (табл. 6.4). Нормализация факторов выполняется по формуле (6.4):
Таблица 6.4- Варьирование уровней факторов.
| Характеристика | В/Ц | x1 | П/Ц | х2 |
| Основной уровень | 0,5 | 2,0 | ||
| Интервал варьирования | 0,1 | - | 0,5 | - |
| Верхний уровень | 0,6 | 2,5 | ||
| Нижний уровень | 0,4 | -1 | 1,5 | -1 |
Для изготовления шести кубов с размером ребра 70,7 мм потребуется около 2,5 дм3(литра) бетонной смеси для каждой серии (табл. 6.5).
Таблица 6.5- Состав мелкозернистого бетона.
| Характеристика уровня факторов | Уровни факторов | Содержание компонентов в бетоне, кг |
| Основной | В/Ц=0,5; П/Ц=2,0 | Песок-3,5; цемент- 1,75; вода- 0,87 |
| Верхний | В/Ц=0,6; П/Ц=2,5 | Песок-3,7; цемент- 1,48; вода- 0,89 |
| Нижний | В/Ц=0,4; П/Ц=1,5 | Песок-3,3; цемент- 2,2; вода- 0,88 |
| Промежуточный | В/Ц=0,6; П/Ц=1,5 | Песок-3,7; цемент- 2,47; вода- 1,48 |
| То же | В/Ц=0,4; П/Ц=2,5 | Песок-3,4; цемент- 1,36; вода- 0,54 |
Допустим, что оптимизируемая функция описывается полиномом первой степени (6.5). Коэффициенты полинома определены по формулам (6.6) и получено уравнение
Yр=18,5-6,5x1-3x2+4x1 x2, (6.9)
которое согласуется с результатами опытов (табл. 6.6). Всего испытано 30 кубов.
Таблица 6.6- Матрица плана эксперимента.
| Номер опыта | x1 | x2 | В/Ц | П/Ц | Yэ | Yр | ∆Y |
| -1 | -1 | 0,4 | 1,5 | 32,0 | 32,0 | - | |
| +1 | -1 | 0,6 | 1,5 | 14,0 | 14,0 | - | |
| -1 | +1 | 0,4 | 2,5 | 18,0 | 18,0 | - | |
| +1 | +1 | 0,6 | 2,5 | 13,0 | 13,0 | - | |
| 0,5 | 2,0 | 17,5 | 18,5 | 1,0 |
В контрольном опыте при х1=0, х2=0 получено Уэ=17,5 МПа, что на 5,7% меньше, чем Ур=18,5 МПа. Следовательно, искомая зависимость с достаточной для практических расчетов точностью может быть описана полиномом первой степени.
Уравнение (6.9) можно записать с заданными соотношениями В/Ц и П/Ц
Rb=138-215В/Ц-46П/Ц+80В/Ц·П/Ц (6.10)
По уравнению (6.10) можно рассчитать состав бетона по заданной его прочности к моменту испытания модели.
Тема 7,8
Экспериментально-статистическая оценка модуля упругости и упруго-пластических характеристик бетона при кратковременном центральном сжатии методом линейного корреляционного анализа.
В результате испытаний бетонной призмы на центральное сжатие с постоянной скоростью приложения нагрузки (через 2,0 МПа в минуту) мы получили следующую опытную зависимость между напряжениями σ и деформации ε, фиксируемыми в процессе испытаний, представленную в таблице 7.1 и на рис. 7.1.
Необходимо выявить: существует ли линейная корреляционная связь между 
и σ. При наличии этой связи - оценить ее количественно линейным корреляционным уравнением с допускаемой при этом погрешностью, а также выявить упругопластические характеристики бетона (модуль упругости, коэффициент пластичности и др.) и аналитическое выражение зависимости (σ - ε), (σ -Е).
Различают функциональную и корреляционную зависимости между двумя свойствами, признаками или характеристиками материалов, функциональная зависимость - это такая зависимость, когда каждой отдельной величине соответствует строго определенная другая величина, например, каждому радиусу круга соответствует строго определенная площадь круга. Корреляционная зависимость - это такая зависимость между двумя свойствами или характеристиками, когда одной независимой величине (например, напряжению) соответствует несколько переменных, варьирующих около средней величины (например, деформация ε или секущий модуль деформаций Е’ по показаниям четырех тензометров по боковым граням призмы). Причем, числу наблюдений над одним свойством (напряжением), должно соответствовать такое же число наблюдений над другим (деформацией), т.е. должны быть связаны пары результатов наблюдений. Корреляционная связь может быть прямолинейной и криволинейной (1). Наиболее простым способом первичного определения связи между двумя свойствами является способ графического изображения результатов вычислений. Откладывая по оси абсцисс данные одного свойства (напряжения), а по оси ординат соответствующие ими значения другого свойства (относительные деформации ε и Е’, получают группу точек (см. рис. 7.1 и рис. 7.2). Так как на исследуемые зависимости (σ - ε), (Е’- σ) оказывают влияние целый ряд порой неизвестных и не подлежащих учету факторов (неоднородность бетона по сечению, неточность снятия отсчетов по силоизмерителю и деформометрам), то точки на графиках (σ - ε) и(Е’- σ) будут более-менее разбросаны (особенно если учесть показания каждого из четырех тензодатчиков). Однако, если между изучаемыми свойствами или параметрами есть связь, то в расположении опытных точек намечается некоторая правильность. На рис. 2 видна прямолинейная зависимость (Е’- σ).
Корреляционная связь между двумя варьирующими свойствами сама по себе не определяет причины зависимости между ними. Корреляция устанавливает только величину связи между двумя свойствами, причинную же связь между ними нужно искать в самой сущности явления. Например, искривление диаграммы сжатия бетона (σ - ε) объясняется быстронатекающими деформациями ползучести цементного камня, причем - нелинейными деформациями.
Величиной, выражающей прямолинейную зависимость между двумя свойствами, является коэффициент корреляции, обозначаемый буквой "r" и колеблющейся в пределах -1≤r≤+1. Знак(«+»)указывает на положительную связь, а знак («-») на отрицательную. При «r»=1 имеем функциональную зависимость между исследуемыми свойствами. При «r»=0 связь или отсутствует или имеет криволинейный характер. Таким образом, чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем больше связь между изучаемыми свойствами.
Коэффициент корреляции r вычисляют по формуле (7.1):
(7.1)
где 
- сумма произведений отклонений отдельных вариант Vx1, Vy того (x) и другого (y) свойств от соответствующих им средних арифметических Mx и My;
(7.2)
(7.3)
(7.4)
n -число наблюдений (вариант каждого ряда).
Средняя ошибка коэффициента корреляции mr:
(7.5)
Достоверность коэффициента корреляции (линейного корреляционного уравнения или связи) оценивается отношением коэффициента корреляции r к его средней ошибке mr. Если это отношение равно 4 или больше, то коэффициент корреляции считается достоверным и наличие связи между двумя свойствами является доказанной, в противном случае - нельзя сделать заключения о достоверности связи между изучаемыми свойствами. Итак, линейная корреляционная зависимость достоверна если:
(7.6)
r и r/mr доказывают на количественную оценку связи между двумя величинами, но не выражают эту связь в виде уравнения.
При экспериментально-статистических исследованиях по выявлению зависимости между двумя величинами X и Y одной из величин (например, напряжению X = σ) дают различные значения, а значения другой величины (например, секущего модуля деформаций бетона Y = Е’) определяют опытным путем. В этом случае величина X = σ является уже не статистической, а независимой переменной заданной без ошибки. Величина Y = Е’, являющаяся зависимой переменной, определяется в результате опыта и поэтому она неизбежно будет иметь разные значения (например, в разных образцах - близнецах). При установлении уравнения связи в этом случае для величины Y = Е’ нужно взять ее средние значения (например в одной призме по показаниям 4-х измерителей деформаций), соответствующие заданным значениям величины X = σ.
Линейное корреляционное уравнение выражается следующей формулой:
(7.7)
σx, σy - средние квадратические отклонения:
(7.8)
Среднее арифметическое Mx; My дает представление о средней величине изучаемого свойства, а среднеквадратическое отклонение σx, σy характеризует среднюю изменчивость изучаемого свойства и имеет ту же размерность, что иMx и My.
Средняя ошибка линейного корреляционного уравнения (7.7), определяющая возможную погрешность его, вычисляется по формуле:
(7.9)
Статистические величины σy, mxy служат для оценки надежности полученного линейного корреляционного уравнения (7.7). Теория вероятностей доказывает, что при повторной опытной проверке уравнения (7.7) по правилу "трех сигм" или "трех ошибок" в 683 случаях из 1000 получают величины My и “Y” отклоняющиеся в ту или другую сторону от вычисленных величин по уравнениям (7.4), (7.7) соответственно не более чем на одну σy или mxy. В 954 случаях из 1000 результаты не входят за пределы ±2σyили ±2 mxy и в 997 случаях из 1000 за пределы ±3σyили ±3 mxy.
Если необходимо определить “Х” по “Y”, то ни в коем случае нельзя это делать алгебраически из линейного корреляционного уравнения (7.7). В этом случае надо составить новое уравнение, приняв “Y” за независимую переменную величину, а “Х” за зависимую переменную, т.е.:
Теперь перейдем непосредственно к установлению и вычислению линейного корреляционного уравнения (7.7) для Е’ и σ по опытным их значениям, представленным в таблице 7.1.
Для вычисления коэффициента корреляции составляем таблицу 7.2. В этой таблице за варианты Vx принято σ, а за варианты Vy – Е’ (опытные значения). В таблице 7.2 показаны также последовательность вычислений и их результаты.
По полученным в таблице 2 результатам находим величину 
Согласно (7.1) 
(близок к 1).
По (7.5) 
по (7.6) 
т.е. наличие линейной корреляционной зависимости (7.7) между Y=Е’ и Х= σ доказано с большой достоверностью.
Согласно (7.7) линейное корреляционное уравнение связи (Е’- σ) будет следующим:
(7.11)
где σ в МПа.
Граничные значения E’ из уравнения (7.11): при σ=0 E’=Eo=4,7347·104 МПа; при σ=Rb; E’=E’Rb=2,4214·104 МПа.
Секущий модуль деформаций бетона в зависимости от его граничных значений:
(7.12)
Средняя ошибка линейного корреляционного уравнения (7.11) согласно (7.9):
Статистическая обработка опубликованных результатов испытаний многочисленных авторов стран СНГ, а также результаты исследований дальнего зарубежья позволила профессору Макаренко Л.П. (7.2) установить что зависимость «напряжение – секущий модуль деформаций» (σ – E’) при сжатии призменных образцов, загружаемых с постоянной скоростью загружения Vσ, является линейной вплоть до разрушения бетонного образца при линейной зависимости (σ- ε).
(7.13)
Упруго-пластические характеристики бетона при текущем напряжении кратковременного центрального сжатия С≤ σ ≤ Rb (коэффициент упругости ν, пластичности λ, характеристика φ и удельная деформация С быстронатекающей (кратковременной) ползучести, удельные упругие δуп и полные δ силовые деформации) выраженные через секущий модуль деформации Е’ по (7.13) и их взаимосвязь:
(7.14)
(7.15)
(7.16)
(7.17)
(7.18)
Быстронатекающая (кратковременная) деформация ползучести бетона:
(7.19)
В таблице 7.1, таблице 7.3 и на рис. 7.1, 7.2 и 7.3 показано в численном виде и графически сопоставление теоретических (корреляционных) зависимостей (σ - ε), (E’ - σ), (E - σ), (ν - σ), (λ - σ), (С - σ), (φ - σ), (δ - σ), (εпл - σ) по вышеприведенным формулам при значении E’ из линейного корреляционного уравнения (7.11) с опытными значениями вышеуказанных величин, полученным по тем же формулам, но при опытных значениях E’.
Как видно из рис. 7.2 и рис. 7.3, коэффициенты упругости ν и пластичности λ, также как и Е’, находятся в линейной зависимости от уровня напряжений 
, а остальные параметры бетона – в нелинейной зависимости.
Фактическое значение модуля упругости бетона Ео=4,7347·104 МПа. По СНБ 5.03.01-02 начальный модуль упругости бетона Ео=Ео4=4,7347(1-0,48858·0,4)·104=3,809·104 МПа, т.е. на 19,6% меньше Ео.
Таким образом, при помощи линейного корреляционного анализа зависимости (E’ - σ) представилась возможность оценить в аналитической форме зависимость (σ - ε) и другие упруго-пластические характеристики бетона при центральном сжатии.
Как видно из таблицы 1 и таблицы 3, максимальное отклонение теоретических значений искомых величин от опытных соответствует минимальному уровню напряжений η=0,062, что обусловлено большой погрешностью при оценке деформаций при малых уровнях напряжений. Зафиксировать деформации сжатия бетона в момент его разрушения очень трудно и не всегда удается. В силу вышеизложенного при установлении линейной корреляционной зависимости (E’ - σ) отсчеты по первой и последней (в момент разрушения) ступенях рекомендуется не учитывать.
Вычисление коэффициента корреляции r и установление линейной корреляционной зависимости (E’ - σ) с оценкой её погрешности mxy может быть произведено также при помощи ПЭВМ по специально разработанной программе.
Рисунок 7.1- Опытные и теоретические зависимости (σ-ε); (σ-εпл);(σ-εупр) согласно данным таблицы 1: о – опытные точки, усредненные по показаниям тензодатчиков; -теоретические (опытно-корреляционные) кривые, исходя из линейной корреляционной зависимости (E’-σ).
Рисунок 7.3- Опытные и теоретические (корреляционные) зависимости (ν-σ); (φ-σ); (λ-σ), (С-σ), (δ -σ) при опытных и линейно корреляционных значениях Е';
о, ∆, □ – опытные точки; - теоретические кривые.
Таблица 7.1
