Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия

К экзамену по линейной алгебре (преподаватель Березкина Л.Л.)

Уч.год.

 

Матрицы и линейные операции над ними.

Определение умножения матриц и свойства операции умножения.

Степени квадратной матрицы и их свойства.

Операция транспонирования матриц и ее свойства.

5. Блочные матрицы.

6. Определение определителя и лемма о разложении по первому столбцу.

Определение определителя и лемма о равноправии строк и столбцов.

Определение определителя и лемма о перестановке строк и столбцов.

9. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа.

Свойства определителей.

11. Теоремы аннулирования и замещения.

12. Определение о братной матрицы и ее свойства. Теорема существования и единственности.

13. Матричные уравнения. Лемма о равносильности систем линейных уравнений и матричных уравнений.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений.

Ранг матрицы и его свойства. Теорема об элементарных преобразованиях матрицы (без доказательства).

16. Определение базисного минора матрицы. Теорема о базисном миноре.

17. Теорема о линейной независимости строк и столбцов матрицы. Следствия.

Критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера–Капелли).

Однородные системы линейных уравнений. Количество решений, свойства решений. Фундаментальная система решений.

20. Неоднородные системы линейных уравнений. Связь решений неоднородной системы и союзной к ней однородной.

21. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (решение задач).

Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.

Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.

Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.

Матричный критерий линейной зависимости и независимости.

Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.

27. Определение размерности линейного пространства.Теорема о дополнении линейно независимой системы до базиса.

28. Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.

29. как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.

30. Определение подпространства линейного пространства и теорема о подпространствах.

31. Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.

32. Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.

33. Определение суммы и пересечения подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.

34. Определение суммы и пересечения подпространств линейного пространства. Теорема о размерности прямой суммы.