Дифференциальные уравнения первого порядка

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные понятия

В различных областях науки и техники весьма часто встречаются задачи, для решения которых требуется решить одно или несколько уравнений, содержащих производные искомых функций. Такие уравнения называются дифференциальными.

Определение 4.1.1. Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f (x) и ее производные.

Если искомая функция есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения n -го порядка:

(4.1.1)

F (x, y, y ¢, y ¢¢, …, y ^{( n )})= 0,

причем, в частных случаях в это уравнение могут и не входить x, y и отдельные производные порядка ниже, чем n.

Например, уравнения имеют соответственно первый и второй порядок.

Всякая функция y = f (x), которая, будучи подставлена в уравнение (4.1.1), обращает его в верное тождество, называется решением этого уравнения. Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение – значит найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.

Решением простейшего дифференциального уравнения

y ¢= f (x)

является функция

,

где С – произвольная постоянная.

При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример 4.1.1. Рассмотрим уравнение y ¢¢=0.

Т.к. y ¢¢=(y ¢)¢=0, то y ¢=С₁.

Интегрируя последнее равенство, получим:

.

Определение 4.1.2. Общим решением дифференциального уравнения (4.1.1) называется такое его решение

,

которое содержит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок этого уравнения.

При этом произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции , не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных, непрерывно зависящих от данных.

Так, например, если полученное решение имеет вид , то можем ввести постоянную и решение примет вид: .

Определение 4.1.3. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если входящим в него произвольным постоянным придать определенные значения, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Пример 4.1.2. Показать, что функция есть решение уравнения y ¢¢–2 y ¢+ y =0.

○

.

.

Следовательно, подставляя найденные выражения в уравнение, получим:

●

 

Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнения первого порядка:

F (x, y, y ¢)= 0.

В простейших случаях это уравнение может быть разрешено относительно производной y ¢:

(4.2.1)

y ¢= f (x; y).

 

(4.2.2)

Общее решение уравнения (4.2.1.) имеет вид

где С – произвольная постоянная.

Геометрически общее решение (4.2.2) представляет собой семейство интегральных кривых, т.е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С (рис. 4.1).

Интегральные кривые обладают тем свойством, что в каждой их точке М(х; у) наклон касательной удовлетворяет условию tgα = f (x; y), где α – угол наклона касательной (рис. 4.1).

Если задать точку М(х ₀; у ₀), через которую должна проходить интегральная кривая, то тем самым из бесконечного семейства интегральных кривых, в простейшем случае, выделяется некоторая определенная интегральная кривая, которая соответствует частному решению данного дифференциального уравнения.

Аналитически это требование сводится к так называемому начальному условию: у = у ₀ при х = х ₀. Если известно общее решение (4.2.2), то имеем .

Из этого условия, вообще говоря, можно определить произвольную постоянную С и, следовательно, найти соответствующее частное решение. В этом состоит задача Кошú (начальная задача).

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (4.2.1), удовлетворяющее заданному начальному условию , т.е. принимающее при х = х ₀ заданное значение у = у ₀.

Геометрически задача Коши формулируется так: найти интегральную кривую дифференциального уравнения (4.2.1), проходящую через заданную точку М(х ₀; у ₀).

Не существует общего метода интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Обычно рассматривают лишь некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из которых дается свой особый способ решения.