Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников тока. В схеме замещения электрической системы нелинейным источникам тока соответствуют генераторы с заданной мощностью, либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью. При заданной мощности нагрузки потребителя и генератора ток задается в следующем виде:
где – сопряженная заданная мощность трех фаз -го узла;
– сопряженный комплекс междуфазного напряжения -го узла;
– нелинейный ток, зависящий от напряжения.
В матричной форме уравнения узловых напряжений имеют вид:
где – вектор-столбец, -й элемент которого равен ;
– заданное напряжение балансирующего узла.
Записанное уравнение – уравнение узловых напряжений в форме баланса токов.
Уравнения узловых напряжений можно записать в форме баланса мощности. В матричной форме:
где – диагональная матрица, -й диагональный элемент которой равен сопряженному комплексу напряжения -го узла.
Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:
где – вектор-функция;
и – вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.
При расчетах вектор независимых переменных задан, т.е. .
Нелинейную систему можно записать:
Метод Зейделя
Метод Зейделя может применяться для решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов. Итерационный процесс Зейделя определяется выражением:
Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений установившихся режимов медленная. Для ускорения сходимости метода Зейделя применяются ускоряющие коэффициенты. Основное достоинство метода Зейделя состоит в том, что он легко программируется и требует малой оперативной памяти. Недостаток метода – в медленной сходимости, или расходимости. Метод Зейделя особенно медленно сходится и расходится в расчетах установившихся режимов электрических систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансформаторами с очень малым сопротивлениями обмотки среднего напряжения и для систем с сильной неоднородностью параметров.
Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в среде MathCAD методом Зейделя, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.
Метод Ньютона
Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системе нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значение неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение.
Рассмотрим решение по методу Ньютона системы нелинейных уравнений с действительными переменными:
Если использовать вектор-столбец и вектор-функцию , где
,
то систему нелинейных уравнений можно записать в матричном виде:
Пусть , , - начальные приближения неизвестных. Заменим каждое из нелинейных уравнений линейным, полученным разложением в ряд Тейлора.
Запишем матрицу Якоби, т.е. матрицу производных системы функций , по переменным :
Тогда систему линеаризованных уравнений можно зависать в матричном виде:
Эта система линейна относительно поправок
.
Матрица Якоби не должна быть вырожденной, тогда решая полученную систему (линейную) любым способом, находим первое приближение переменных:
Каждый шаг итерационного процесса состоит из решения линейной системы:
и определения следующего приближения неизвестных:
Контроль сходимости осуществляется по вектору невязок:
Уравнение узловых напряжений в форме баланса мощностей для -го узла можно записать в следующем виде:
Слагаемое внесено в сумму, балансирующему узлу присвоен номер .
Выделим в уравнении действительные и мнимые части:
где , – соответственно небалансы активных и реактивных мощностей в узле
, – вектор-столбцы действительных и мнимых составляющих напряжений.
В расчетах на ЭВМ обычно в качестве неизвестных используются модули и фазы напряжений узлов и .
Уравнение баланса мощностей для -го узла при переменных и :
где
Уравнение в форме баланса мощностей:
С учетом реальных условий в электрических системах можно пренебречь недиагональным элементами матрицы Якоби, т.е.
Метод Ньютона очень быстро сходится и имеет высокую надежность.
Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса мощностей в полярной системе координат в среде MathCAD методом Ньютона, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.
Заключение
В курсовой работе была рассмотрена сложная электрическая система. Подробно рассмотрено составление схемы замещения электрической системы и расчет матрицы узловых проводимостей. Приводятся основные методы решения нелинейных уравнений установившегося режима работы электрической системы. Разработана программа в среде MathCAD для решения нелинейных систем методам Ньютона и Зейделя. Предпочтение отдается методу Ньютона из-за высокой надежности и быстрой сходимости.
Список использованной литературы
1. «Справочник по проектированию электроснабжения, линий электропередачи и сетей». Под ред. Я.М. Большама, В.И. Круповича, М.Л. Самовера; М.: «Энергия», 1974г.
2. «Справочник по электроснабжению промышленных предприятий». Под ред. А.А. Федорова, Г.В. Сербиновского. М.: «Энергия», 1973г.
3. «Электрические системы и сети». Под ред. Л.Н. Баптиданова. Л.: «Госэнергоиздат», 1963г.
4. Конспекты лекций по «Математическим задачам в энергетике».
Приложение
Метод Зейделя
Метод Ньютона.