Регрессионные модели с одним уравнением

Лекция по теме 1

«Основные понятия эконометрики. Метод наименьших квадратов»

(2 час)

План лекции.

1. Предмет, задачи и основные понятия эконометрики.

2. Регрессионные модели с одним уравнением.

3. Основные этапы эконометрического исследования.

4. Метод наименьших квадратов.

 

1.Основные понятия эконометрики.

Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей, присущих экономическим объектам, явлениям и процессам. К эконометрике относится все, что связано с изме­рениями в экономике, а также определенный математический аппарат, который позволяет строить модели количественных взаимосвязей, существующих между анализируе­мыми экономическими показателями.

Например, формирующийся на рынке спрос на некоторый товар можно рассматривать как функцию от его цены; затраты на изготовление какого-либо продукта – как функцию от объемов производства и т.п.

Если не известно, какой из показателей является независимым, а какой - зависимым от других показателей, то говорят о взаимосвязи корреляционного типа.

Если же исследуемые экономические показатели неравноправны, т.е. один из этих показателей (спрос на товар, производственные затраты) является зависимой (объясняемой, результирующей) переменной, а другой показатель (цена, объем про­изводства) – независимой (объясняющей) переменной, то говорят о функциональной связи этих переменных.

Главная з­адача эконометрики - этозадача моделирования количественных взаимосвязей между анализируемыми экономическими показателями, т.е. задача построенияэконометрических моделей (уравнений).

Зависимые переменные (у ) являются величинами случайными, поскольку при одних и тех же значениях переменных x переменные y в разных наблюдениях могут принимать различные значения. Это объясняется тем, что любая эконометрическая модель всегда является упрощением действительнос­ти: кроме факторов x, учтенных в модели, существуют и другие факторы, вли­яющие на результирующую переменную y, но в модель не включенные. Так, спрос на товар зави­сит не только от цены, но и от доходов покупателей, качества товара и множества других факторов.

Для того, чтобы моделируемая зависимость экономических показателей как можно больше соответствовала реа­льности, в каждую модель кроме объясняющих переменных (x) вводят случайную составляющую ( e). Эта составляющая называется ошибкой. Она отражает влияние на результирующую переменную у всех тех факторов, которые не учтены в модели. В этом случае взаимосвязь переменных называется статистической зависимостью и описывается с помощью регрессионной модели:

,

где t = 1, 2, …, N - номер наблюдения; - фактическоезначение зависимой переменной в t -ом наблюдении; = (x _{1 t}, x _{2 t}, ... x_nt) - вектор значений n независимых переменных в t -ом наблюдении, влияющих на ; - случайная составляющая (ошибка); f - функция взаимосвязи переменных у и ; = (a ₀, a ₁ ,..., a_k) - коэффициенты (параметры) модели; N - количество наблюдений.

Регрессионная модель, построенная на основе конкретных значений экономических переменных, позволяет не только анализировать сущность процессов, происходящих в экономических объектах, но и может быть использована для прогноза значений исследуемой зависимой переменной.

Регрессионные модели с одним уравнением

При решении эконометрических задач обычно используют моде­ли двух основных типов: регрессионные модели с одним уравнением и системы одновременных уравнений.

В регрессионных моделях с одним уравнением зависимая переменная y представляется в виде функции от одной или нескольких независимых переменных , влияющих на ее значение:

.

Например, можно исследовать спрос на мороженое как функцию от времени, температуры воздуха, уровня доходов или описать зарплату в виде функции от пола, возраста, уровня образования, стажа работы и т.п.

Если функция взаимосвязи f линейна, то речь идет о линейном регрессионном уравнении. В общем случае линейное регрессионное уравнение, связывающее зависимую переменную у с n независимыми переменными , имеет вид:

.

Количество неизвестных коэффициентов линейного регрессионного уравнения на единицу больше числа объясняющих переменных , т.е. равно n +1.

 

3. Основные этапы эконометрического исследования

Изучение зависимостей экономических переменных обычно начинают с определения характера их взаимосвязей.

Рассмотрим анализ характера взаимосвязи двух переменных x и y. Предположим, что имеются ряды значений этих переменных. Соответствующие этим значениям точки нанесены на график и соединены линией. Если это реальные статистические значения, то практически невозможно получить простую зависимость – линейную, квадратичную, экспоненциальную и т. п. В данных всегда будут присутствовать отклонения зависимой переменной y, вызванные ошибками измерения или влиянием неучтенных и случайных факторов. Однако даже если не получена, например, идеальная прямая линия, нельзя сделать вывод, что в основе рассматриваемой зависимости переменных x и y лежит нелинейная функция. Возможно, зависимость линейна, и лишь случайные факторы привели к некоторым отклонениям от нее. Это относится и к любым другим видам функций.

Выбор формы связи переменных проводится на первом этапе эконометрического исследования и называется спецификацией уравнения регрессии. Графическое представление ряда распределения исследуемых переменных на плоскости называют полем корреляции. До тех пор, пока не оценены количественные значения коэффициентов и не проверена надежность полученных оценок, выбранная формула связи считается гипотезой.

Оценку коэффициентов выбранной формулы связи проводят на втором этапе исследования и называют параметризацией уравнения регрессии.

Первое оцененное уравнение очень редко является удовлетворительным во всех отношениях. Обычно приходится постепенно подбирать формулу связи и состав независимых переменных, анализируя на каждом этапе качество построенной модели.

Анализ качества построенной модели является т ретьим этапом эконометрического исследования и имеет две составляющие:

1. Статистическая составляющая содержит следующие элементы:

а) проверка статистической значимости каждого коэффициента уравнения регрессии;

б) проверка общего качества построенного уравнения;

в) проверка тех свойств данных, которые предполагались при оценивании уравнения.

2. Содержательная составляющая подразумевает рассмотрение экономического смысла построенного регрессионного уравнения: действительно ли значимыми оказались объясняющие факторы x, важные с точки зрения экономической теории; положительны или отрицательны коэффициенты a, показывающие степени воздействия факторов x на зависимую переменную y; попали ли оцененные коэффициенты a в предполагаемые теоретические интервалы и т.п.