Для нахождения интеграла от неправильной рациональной дроби следует выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде
где − многочлен (целая часть при делении); − остаток от деления. Очевидно, что второе слагаемое есть уже правильная рациональная дробь.
Примеры 17. Вычислить интегралы:
1) .
Решение: Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, т.е.
.
Приводя дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравнивая после этого числители правой и левой частей, получим
.
Полагая в полученном тождестве , имеем .
Полагая , имеем .
Таким образом, искомый интеграл
.
2) .
Решение: Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Разлагая ее на сумму простейших дробей, получим
.
Приведем правую часть полученного соотношения к общему знаменателю:
.
Для нахождения неопределенных коэффициентов будем комбинировать два вышеизложенных способа.
Полагая , получим .
При имеем .
Для определения коэффициента приравняем коэффициенты при в обеих частях тождества: , откуда .
|
|
В результате находим искомый интеграл:
.
3) .
Решение: Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей.
.
Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем
.
Полагая , находим : .
Коэффициенты найдем, приравнивая коэффициенты при , и свободные члены в тождестве:
при : ;
при : ;
при : .
Решив полученную систему, получим , , .
Следовательно,
.
В последнем интеграле квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Для его вычисления выделяем полный квадрат из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе.
.
Тогда
.
Таким образом, имеем
.
4) .
Решение: Квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Поэтому подынтегральная дробь раскладывается на слагаемые следующим образом:
.
Следовательно,
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :
при : ;
при : ;
при : ;
при : .
Решив полученную систему, получим , , , . Следовательно,
.
Для нахождения последнего интеграла воспользуемся ранее указанной рекуррентной формулой:
.
Итак, находим искомый интеграл:
.
5) .
Решение: Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь. Выделяя целую часть, получим
.
Следовательно,
.
Первый интеграл интегрируется непосредственно
Во втором интеграле замечая, что , разложим правильную рациональную дробь
на простейшие дроби:
.
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем
.
Полагая и , находим и .
Для нахождения коэффициента приравняем коэффициенты при в тождестве. Получим .
Поэтому
.
Наконец, находим искомый интеграл
|
|
.