3.1. Раскрытие неопределенности вида .
Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно большие функции (б.б.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида . Для нахождения предела неопределенного выражения нужно избавиться от неопределенности (или раскрыть неопределенность).
Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень, а затем перейти к пределу.
Пример 1
,
так как при каждая из дробей стремится к нулю.
Пример 2
.
Пример 3
.
Замечание. Из рассмотренных примеров видно, что предел частного двух многочленов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны; равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; равен ¥, если степень числителя больше степени знаменателя.
3.2. Раскрытие неопределенности вида
Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно малые функции (б.м.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида .
Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него.
Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует избавиться от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Пример
Вычислить предел .
Решение
При числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателю выражение, т.е. на сумму , а квадратный трехчлен разложим на множители, найдя для этого его корни:
,
тогда,
.
Таким образом, получим:
.
3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
Однаиз форм записи второго замечательного предела
.
Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида .
Пример
Вычислить предел .
Решение
Предел основания , а показатель степени при , т.е. имеет место неопределенность вида . Выделим целую часть основания степени
и применим второй замечательный предел:
, учитывая, что .