Предел (1) называется несобственным интегралом функции от до бесконечности и обозначается .
Если предел (1) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если предел (1) равен бесконечности или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяются несобственные интегралы и .
Все эти интегралы называются несобственными интегралами первого рода.
Пример 1
Вычислить .
Решение.
Согласно таблице интегралов, .
Тогда
Интеграл сходится.
Пример 2
Вычислить .
Решение.
, искомый интеграл расходится.
Пример 3
Вычислить .
Решение.
Согласно таблице интегралов,
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция имеет бесконечный разрыв в точке , а в остальных точках промежутка непрерывна. Несобственным интегралом функции от до называется предел .
Он обозначается (2).
Если предел существует и конечен, говорят, что интеграл (3) сходится, в противном случае расходится.
|
|
Если функция имеет бесконечный разрыв во внутренней точке с отрезка , то принимается, что причем предполагается, что оба интеграла в правой части сходятся. Эти интегралы называются несобственными второго рода.
Пример 1
Вычислить .
Решение.
Интеграл несобственный, так как подынтегральная функция стремится
к при .
при .
Следовательно, искомый интеграл сходится и равен .
Пример 2
Вычислить .
Решение.
Интеграл – несобственный, так как подынтегральная функция внутри обращается в бесконечность при . Имеем .
По определению несобственного интеграла второго ряда .
Аналогично получаем .
Таким образом .
Пример 3
Вычислить .
Решение.
Следовательно, несобственный интеграл расходится.
Вопросы для самопроверки
1. Перечислите виды несобственных интегралов первого рода.
2. Какие интегралы называются несобственными второго рода?
3. Каким образом определяется сходимость (расходимость) несобственного интеграла?