Для економічних систем характерною є наявність керуючої та керованої системи.
Керуюча система створює х={x1,x2…xm}.
U={u1,u2…uk}- описує стан системи.
Як керована так і керуюча система повинні враховувати L={L1,L2…Lm} – обмежень, що накладаються на процес.
Y={y1,y2…yр} – компонент зовнішнього середовища, що не залежить ні від керуючої, ні від керованої системи.
Узагальненням Y є ЦФ.
Цільова функція, яка є мірою ефективності роботи системи і залежить від х керування. Цільову функцію позначають F(x), у цю функцію входять і постійні величини, що залежать від L,Y,U.
Мета керування: задовольнивши задані обмеження досягнути екстремуму цільової функції.
Наука що займається постановкою і розв’язуванням оптимізаційних задач для керованих систем і організаційних в тому числі, називається Дослідженням Операцій.
Математичне програмування є складовою частиною «ДО».
Математичне програмування займається вивченням екстремальних задач та пошуком, розробкою методів їх розв’язування.
Функція мінімуму чи максимуму якої якої шукаємо називається цільовою.
|
|
В загальному математична постановка екстремальних задач полягає в наступному:
1. Потрібно знайти екстремальне значення Цільової функції F(x)=F(x1,x2…xm)->min(max) (1)
X={x1,x2…xn}- має задовольняти систему співвідношень.
В залежності від властивостей та вигляду цільової функції МП поділяється на:
- Лінійне програмування;
- Нелінійне;
- Динамічне(процес розв`язку є багатоетапним)
Нелінійне програмування поділяється на:
- Опукле (знаходження екстремуму опуклої цільової функції на опуклому просторі
- Дробово-лінійне(ЦФ є відношенням двох лінійних функцій)
- Квадратичне(ЦФ є квадратична)
- Параметричне(залежність від параметрів)
- Цілочислове
- Стохастичне
ЦФ та обмеження є випадковими величинами.
Методи МП застосовують до розв’язання наступних задач:
1) Управління ресурсами для виробництва;
2) Про розподіл ресурсів;
3) Про суміші;
4) Ремонту і заміни устаткування;
5) Упорядкування;
6) Синтез мережі транспортних сполучень;
7) Найвигіднішого розташування продуктів;
Означення: Х що задовольняє умови (2) і (3) називається допустимим розв’язком або планом задачі.
Означення: Числа хi, що складають план задачі називаються компонентами плану або параметрами управління.
Означення: множина наборів х1,х2,…хк, що задовольняють умови (2),(3) називаються областю визначення задачі або допустимою областю.
Означення: план задачі х*={x1*,x2*…xn*} – при якому ЦФ досягає екстремуму називається оптимальним планом або розв’язком задачі.
Якщо обмеження та ЦФ містять хi в І степені то задача (1)-(3) назив. Задачею лінійного програмування.
|
|
Необхідно знайти екстремум ЦФ F(x)=cx1+c2x2+…+cnxn->min(max) (4)
який задовольняє систему обмежень
Існує три форми запису ЗЛП:
- Загальна (необхідно знайти максимальне або мінімальне значення функції за обмежень рівнянь та нерівностей F(x)->min(max)
При чому умова невід`ємності може накладатися на всі змінні, на деякі з них або не накладатися взагалі.
- Стандартна
- Канонічна
Задача знаходження min ЦФ F(x) еквівалента задачі знаходження max ЦФ –F(x)->max (7)