1. Найдем область определения функции
и изобразим ее геометрически.
Область определения данной функции определяется системой неравенств
Построим границы области определения:
х 2+ у 2=1 – окружность R =1, центр (0;0);
х 2+ у 2=4 – окружность R =2, центр (0;0);
х 2+ у 2³1 – окружность R=2, центр (0;0);
x 2+ y 2³1 – внешняя часть круга радиуса 1;
x 2+ y 2£4 – внутренняя часть круга радиуса 2.
Областью определения данной функции является изображенное кольцо, границы которого входят в область определения функции.
2. Исследуем данную функцию на экстремум: Z =2 x 2– xy + y 2–3 x – y +1; x ÎR, y ÎR.
Найдем частные производные первого порядка:
; .
Найдем стационарные точки: , откуда x =1, y =2.
Таким образом, стационарной точкой функции является М(1; 2).
Проверим достаточные условия существования экстремума функции. Для этого найдем значения частных производных второго порядка:
; ; .
Составим выражение AC–B2 =4×2–(–1)2=7>0 – экстремум существует. Так как А =4>0, то функция в точке М имеет минимум.
|
|
Z min(1; 2) = 2×12–1×2+22 –3×1–2+1=2–2+4–3–2+1=0, Z min=0.
Задание 11
Задачи 201-220. Найти область определения функции двух переменных и изобразить ее геометрически.
201. . | 202. . |
203. . | 204. . |
205. . | 206. . |
207. . | 208. . |
209. Z =arcsin (x + y). | 210. Z =arcсos (x – y). |
211. . | 212. . |
213. . | 214. . |
215. . | 216. . |
217. . | 218. . |
219. . | 220. . |
Задание 12
Задачи 221–240. Исследовать на экстремум функции.
221. . |
222. . |
223. . |
224. . |
225. . |
226. . |
227. . |
228. . |
229. . |
230. . |
231. . |
232. . |
233. . |
234. . |
235. . |
236. . |
237. . |
238. . |
239. . |
240. . |
Тема 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вопросы для самопроверки
1.Сформулировать теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения.
2. Что называется общим решением, частным решением дифференциального уравнения?
3. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?
4. Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка?