Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрический смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции

Опр. Пусть функция y = f (x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение D х (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции D у = f (x + D х)- f (x). Передел отношения приращение функции D у к приращению аргумента D х при D х ®0 называется производной функции y = f (x) в точке х.

. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной у' (x ₀) - угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точке (x ₀, y ₀= f (x ₀)). Не любая функция имеет касательную в каждой точке, так, невозможно построить касательную к графику функции | x | в точке (0,0). Чтобы в точке (x ₀, y ₀= f (x ₀)) существовала касательная, необходимо существование предела , т.е. существование производной. Функции, имеющие производную в каждой точке своей области определения (т.е. функции, графики которых имеют касательную в каждой точке), будем называть гладкими.

уравнение касательной в точке (x ₀, y ₀= f (x ₀)): ;

уравнение нормали к графику функции в точке (x ₀, y ₀= f (x ₀)): (при условии, что у' (x ₀)¹0).

Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи Дифференцируемости с существованием конечной производной (с доказательством). Связь дифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством).

Опр. Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение D у в этой точке можно представить в виде , где А - не зависящая от D х величина, a(D х) - БМ высшего порядка по сравнению с D х: при D х ®0.

В более краткой записи для дифференцируемой в точке х функции .

Теор. Для того, чтобы функция y = f (x) имела в точке х конечную производную

y' = f' (x), необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой точке.

Док-во. Необходимость. Пусть в точке х существует конечная производная y'. По теор.6.2 о приращении функции, имеющей производную, D у = у' (x) D х + a(D х) D х, где a(D х) - бесконечно малая функция при D х ®0. Сравнивая это выражение с определением 6.2, делаем вывод: А = у' (x), БМ a(D х) D х имеет более высокий порядок по сравнению с D х, т.е. f (x) действительно дифференцируема в точке х.

Достаточность. Пусть f (x) дифференцируема в точке х, т.е. её приращение D у можно представить в виде , где А - не зависящая от D х величина, a(D х) - БМ высшего порядка по сравнению с D х: при D х ®0. Тогда . Следовательно, существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е. $ у' (x), и у' (x)= А.