Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, …,xn – xn-1 = Dxn;
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.
[x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn.
Составим суммы:
n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =
n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =
Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.
Т.к. mi £ Mi, то n £ n, а m(b – a) £ n £ n £ M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.
x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, …, xn-1 < e < xn.
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =
Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi
Следовательно,
Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.
|
|
Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности. Если , то
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
Обозначение: , где а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Свойства определенного интеграла
1)
2)
3)
4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что
7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
Это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.
8)
Теорема Ньютона – Лейбница
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то - это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
5. Основные методы интегрирования в определенном интеграле
Замена переменных в определенном интеграле
Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].
Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).
Тогда если
1) j(a) = а, j(b) = b
2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]
3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то
Тогда
Пример.
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.
|
|
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.