Критерій стійкості Гурвіца

• У 1895 р. німецьким математиком А. Гурвіцем був розроблений алгебраїчний критерій стійкості у формі визначників, що складаються з коефіцієнтів характеристичного рівняння системи.

• З коефіцієнтів характеристичного рівняння

будують спочатку головний визначник Гурвіца за наступним правилом:

1)По головній діагоналі визначника зліва направо записують усі коефіцієнти характеристичного рівняння від до в порядку спадання індексів.

2)Стовпці вгору від головної діагоналі доповнюють коефіцієнтами характеристичного рівняння з послідовно зростаючимиіндексами, а стовпці вниз — коефіцієнтами з послідовноспадаючими індексами.

3)На місце коефіцієнтів з індексами більше n (n — порядок характеристичного рівняння) і менше нуля проставляють нулі.

• Відкреслюючи вголовному визначнику Гурвіца одержуємо визначники Гурвіца нижчого порядку:

• Критерій стійкості Гурвіца: для того щоби система автоматичного керування була стійка, необхідно і достатньо, щоб усі визначники Гурвіца мали знаки, однакові зі знаком старшого коефіцієнта характеристичного рівняння , тобто при були додатними.

Розкриваючи, наприклад, визначники Гурвіца для характеристичних рівнянь першого, другого, третього і четвертого порядків, можна одержати наступні умови стійкості:

1) для рівняння першого порядку (п = 1), тобто , умови стійкості:

, ;

2) для рівняння другого порядку (п = 2), тобто , умови стійкості:

, ;

3) для рівняння третього порядку (п =3), тобто , умови стійкості:

, , ;

4) для рівняння четвертого порядку (п =4), тобто , умови стійкості:

, ;

• Таким чином, необхідною і достатньою умовою стійкості для систем першого і другого порядків є додатність коефіцієнтів характеристичного рівняння.

• Для рівняння третього і четвертого порядків окрім додатності коефіцієнтів необхідне виконання додаткових нерівностей. При 5 число подібних додаткових нерівностей зростає, процес розкриття визначників стає досить трудомістким і громіздким.