Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Придадим переменной x приращение оставляя при этом значение переменной y без изменения так, чтобы точка принадлежала этой окрестности.
Определение. Величину называют частным приращением функции по переменной x.
Аналогично вводится частное приращение этой функции по переменной y:
Полное приращение функции определяется равенством
Если существует предел
то он называется частной производной функции в точке по переменной x и обозначается одним из следующих символов:
Аналогично частная производная функции по переменной y определяется как предел:
Она обозначается как
Согласно с определением, при нахождении частной производной находят обыкновенную производную функции одной переменной x считая переменную y постоянной, а при нахождении производной постоянной считается переменная x.
Следовательно, частные производные находятся по формулам и правилам дифференцирования функции одной переменной.
Частная производная характеризует скорость изменения функции в направлении оси Ox, – в направлении оси Oy.
|
|
Выясним геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Геометрическим образом (графиком) функции является некоторая поверхность. Графиком функции является линия пересечения этой поверхности с плоскостью Исходя из геометрического смысла производной функции одной переменной, получаем, что, где a – угол между осью Ox и касательной, проведенной к пространственной кривой в точке Аналогично, где b – угол между осью Oy и касательной, проведенной к пространственной кривой (линии пересечения поверхности с плоскостью ) в точке
Приведем примеры вычисления частных производных первого порядка.
Пример 1. Найти частные производные функции
Решение.
1.Считаем переменную y константой и применяем правила дифференцирования:
2. Используем табличные производные:
3. Теперь считаем переменную х константой и применяем те же правила дифференцирования и табличные производные:
Пример 2. Найти частные производные функции
Решение.
1.Считаем переменную y константой и применяем правила дифференцирования:
2. Используем табличные производные:
3. Теперь считаем переменную х константой и применяем те же правила дифференцирования и табличные производные :
Пример 3. Найти частные производные функции
Решение.
1. Считаем переменную y константой, применяем правило дифференцирования сложной функции, правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличные производные корня и степенной функции:
|
|
2. Теперь считаем переменную х константой и применяем те же правила дифференцирования и табличные производные: