Задание для самостоятельной работы

Имеется информация о результатах работы 16 фирм по следующим показателям (см. рис.26):

у – объем реализации (млн руб.);

х₁ – расходы на рекламу (млн руб.);

х₂ – цена собственной продукции;

х₃ – цена продукции фирмы- конкурента;

х₄ – инвестиции (в процентах к предыдущему году).

Провести корреляционно – регрессионный анализ этой информации в соответствии с рассмотренным тренировочным примером. Для этого:

1. Проанализировать описательную статистику (см. рис.27).

2. Проанализировать матрицу парных коэффициентов корреляции (см. рис.28)

3. Проанализировать в сравнительном анализе с предыдущей матрицей матрицу частных коэффициентов корреляции (см. рис.29).

4. Проанализировать точность уравнения полной регрессии (см. рис.30).

5. Проанализировать точность уравнения пошаговой регрессии (см. рис.31) и проинтерпретировать его коэффициенты.

 

Рис. 26. Исходная информация

 

Рис. 27. Описательная статистика

 

6. Основываясь на отчете о пошаговой регрессии в ППП Statistica (рис.31), проведите сравнительный анализ степени влияния оставшихся в регрессии переменных на зависимую переменную по коэффициентам регрессии в натуральном масштабе и по стандартизованным коэффициентам регрессии. Поясните результаты анализа исходя из смысла этих коэффициентов.

 

Рис. 28. Матрица парных коэффициентов корреляции

 

Рис. 29. Матрица частных коэффициентов корреляции

 

Рис. 30. Отчет о полном уравнении регрессии

 

Рис.31. Отчет о пошаговой регрессии в ППП Statgraphics

 

Рис.31. Отчет о пошаговой регрессии в ППП Statistica

 

 

Решение

1. Анализ описательной статистики

S_x1=4,754 S_x2=0,884 S_x3=0,885 S_x4=4,512

V_x1=51,083% V_x2=5,552% V_x3=5,198% V_x4=4,208%

Таким образом стандартные отклонения х₁ и х₄ почти в 5 раз больше, чем стандартные отклонения х₂ и х₃.

А коэффициент вариации для переменной х₁ почти в десять раз больше, чем коэффициенты вариации переменных х₂, х₃, и х_4. Это объясняется тем, что, анализируемые показатели имеют разные единиц измерения (млн. руб., руб., %). В этом случае реальное представление о сравнительной мере рассеяния дает коэффициент вариации. Для одинаковых единиц измерения эти два показателя дают сходную информацию: единицы измерения переменных х₂ и х₃ – руб.

 

 

2. Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции.

 

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что:

- значимой являются только переменная х₄, для которой расчетный уровень значимости меньше 0,05 (для переменных х₁, х₂ и х₃ расчетные уровни значимости больше 0,05);

- мультиколлинеарность между независимыми переменными отсутствует, т. наибольший коэффициент корреляции между независимыми переменными r_x1х2= 0,5856< 0,8.

 

3. Сравнительный анализ матрицы парных коэффициентов корреляции и матрицы частных коэффициентов корреляции

Сравнительный анализ матрицы парных коэффициентов корреляции и матрицы частных коэффициентов корреляции показывает, что чистая связь между у и х₁ и у и х₂ ослабла, а между у и х₃ и у и х₄ наоборот усилилась.

 

4. Анализ точности уравнения полной регрессии

Уравнение полной регрессии: y=-1267.71+2.70x₁-2.76x₂+16.33x₃+12.31x₄

Дисперсионный анализ регрессии показывает, что уравнение регрессии значимо (р-величина статистики Фишера равна 0,002, т.е. меньше 0,05).

Коэффициенты множественной корреляции (R=Ö0.843028=0.9182) и множественной детерминации (R²=84.3028%) показывают, что уравнение регрессии довольно точно описывает зависимость объема реализации (y) от остальных переменных, т.к. 84,30 % изменение объема реализации (y₎ обусловлено изменением всех факторных признаков.

Исправленный коэффициент детерминации R²_adj=78,59 % меньше неисправленного. Это различие в исходном и исправленном коэффициентах множественной детерминации означает, что в уравнении регрессии присутствуют незначимые переменные (вывод о незначимости некоторых независимых переменных был так же сделан при анализе матрицы парных коэффициентов корреляции).

Этот вывод так же подтверждается полученными значениями расчетных уровней значимости оценок коэффициентов уравнения регрессии. Среди них только один (при х₄) имеет p-value меньше 0,05. Поэтому предварительно можно утверждать, что на объем реализации фирм (результативный признак) оказывает реальное воздействие только фактор х₄ (уровень инвестиций в % к предыдущему году).

Данные о величине стандартизованных коэффициентов в условии задачи отсутствуют

Коэффициент Дарбина – Уотсона d=2,23,

При n=16, m=4 и =0,05: d_l=0,74, d_u=1,93.

Тогда области принятия решений следующие:

__есть__ d_l ___?____ d_u _нет_4-d_u ___?_____4-d_l __есть___

0 0,74 1,9 2,07 3,26 4

Значение статистики Дарбина – Уотсона (2,23) попало в область неопределенности критерия (между 2,07 и 3,26), поэтому нет статистических оснований ни принять, ни отклонить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках. Но 2,23 ближе к 2, чем к 4, поэтому можно считать правомерным выбор линейной модели регрессии.

 

5. Анализ точности пошагового уравнения

Уравнение регрессии с двумя факторами (х₃ и х₄) значимо (р-величина статистики Фишера равна 0,0000, т.е. меньше 0,05).

Данные отчета о пошаговой регрессии показывают, что, коэффициент множественной детерминации для уравнения с двумя факторами (х₃ и х₄) уменьшился до 81,61 % (был равен 84,30%). При этом несколько увеличился исправленный коэффициент множественной детерминации: с 78,59 % до 78,53 %, следовательно, количество незначимых факторов в модели сократилось. Исправленный коэффициент детерминации меньше неисправленного, следовательно в уравнении регрессии с двумя факторами (х₃ и х₄) вновь присутствуют незначимые переменные. Незначимым в этом уравнении регрессии является фактор х₃, т.к. расчетный уровень значимости оценки коэффициента уравнения регрессии для этого фактора равен 0,0663>0.05.

Таким образом подтверждается вывод о том, что на объем реализации фирм (результативный признак) оказывает реальное воздействие только фактор х₄ (уровень инвестиций в % к предыдущему году).

Коэффициент парной корреляции между факторами х₃ и х₄ равен нулю (p-value для него равна 0,8933), т. е. эти переменные независимы, следовательно можно осуществить их интерпретацию.

Коэффициенты регрессии b₃=18.24; b₄=12.94 означают, что:

- увеличение цены продукции фирмы-конкурента (фактор х₃) на единицу своего измерения приведет в среднем к увеличению реализации на 18,24 млн. руб.;

- увеличение инвестиций по сравнению с предыдущим годом на 1% (фактор х₄) приведет в среднем к увеличению реализации на 12,94 млн. руб.

Однако, это не означает, что фактор х₃ оказывает на результативный признак более сильное влияние, чем фактор х₄. Такое сравнение является возможным, если обратиться к стандартизованным коэффициентам регрессии. b₃=0,2385<b₄=0,863, следовательно, фактор х₃ оказывает на объем реализации (y) менее сильное воздействие, чем фактор х₄.

Коэффициент Дарбина – Уотсона для этого уравнения равен 1,84, а табличные значения равны для n=16 и m=2: d_l=0,98;d_u=1,54.

___есть__ d_l ___?__ d_u ___нет___4-d_u ___?__4-d_l __есть___

0 0,98 1,54 2,46 3,02 4

Вычисленное значение d=1,84 и находится между 1,54 и 2,46, следовательно, для этого уравнения автокорреляция остатков отсутствует, т. е. ошибки в спецификации уравнения нет.