Пространство элементарных исходов

Глава 1. Случайные события.

 

Любая современная математическая дисциплина основывается на некоторых исходных понятиях (аксиомах). В теории вероятностей такой аксиоматический подход был введен сравнительно недавно (в 30-х гг.) А.Н. Колмогоровым.

Аксиомы, лежащие в основе этого подхода, отражают и сообщают те свойства понятия вероятности случайных событий, которые использовались на интуитивном уровне с давних времен – с момента зарождения теории вероятностей как теории «азартных игр».

В этой и следующих главах будет показано, что основные понятия и аксиомы теории вероятностей представляют собой математические отражения понятий, хорошо известных любому человеку, наблюдавшему опыты со случайными исходами. Одним из таких понятий является пространство элементарных исходов, введение которого позволяет при решении конкретных практических задач оперировать общим для современной математики аппаратом теории множеств.

 

Пространство элементарных исходов.

Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов.

Другими словами, множество исходов опыта образует пространство элементарных исходов, если выполнены следующие требования:

- в результате опыта один из исходов обязательно происходит;

- появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;

- в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

В дальнейшем пространство элементарных исходов будем обозначать прописной буквой Ω, а сами элементарные исходы – строчной буквой , снабженной при необходимости индексами. То, что элемент принадлежит Ω, записывают в виде Ω, а тот факт, что множество Ω состоит из элементов и только из них, записывают в виде

или в виде

В частности, может содержать конечное число элементарных исходов.

Рассмотрим примеры, поясняющие понятие пространства элементарных исходов.

Пример 1.1. Пусть опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от несущественных возможностей (например, монета встанет на ребро) и ограничиться только двумя элементарными исходами: выпадением «герба» (можно обозначить этот исход Г, или ) и выпадением «цифры» (Ц, или ). Таким образом, или .

При двукратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании двух монет) пространство элементарных исходов будет, очевидно содержать 4 элемента, т.е.

,

где - появление «герба» и при первом, и при втором подбрасываниях, и т.д.

Пример 1.2. При однократном бросании игральной кости возможен любой из шести элементарных исходов , …, , где , означает появление i очков на верхней грани кости, т.е.

При двукратном бросании игральной кости каждый из шести возможных исходов при первом бросании может сочетаться с каждым из шести исходов при втором бросании, т.е.

где - исход опыта, при котором сначала выпало i, а затем j очков.

Нетрудно подсчитать, что пространство элементарных исходов содержит 36 элементарных исходов.

Пример 1.3. Пусть опыт заключается в определении числа вызовов, поступивших на телефонную станцию в течение заданного промежутка времени. Разумеется, реально это число не превышает некоторого значения (определяемого, в частности, пропускной способностью линии связи), но, поскольку это значение может быть достаточно большим, в качестве пространства элементарных исходов можно принять множество целых неотрицательных чисел, т.е.

Пример 1.4. Предположим, что стрелок производит единственный выстрел по плоской мишени. В этом случае естественно отождествить с множеством точек на плоскости или множеством пар (x;y) действительных чисел, где x – абсцисса, а y – ордината точки попадания пули в мишень в некоторой системе координат. Таким образом,

.

 

Задачи.

В задачах 1.1 – 1.10 построить множество элементарных исходов Ω по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

1.1. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. События А ={оба раза выпал число очков, кратное трем}, В ={ни разу не выпало число шесть}, С ={оба раза выпало число очков больше трех}, D ={оба раза выпало одинаковое число очков}.

1.2. Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат – появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События А ={герб выпал ровно один раз}, В ={ни разу не выпала цифра}, С ={выпало больше гербов, чем цифр}, D ={герб выпал не менее, чем два раза подряд}.

1.3. Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат – общее число подбрасываний. События А ={герб выпал при третьем подбрасывании}, В ={герб выпал не ранее, чем при третьем подбрасывании }.

1.4. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События А ={первый ящик пустой}, В ={в каждый ящик попало по одному шару}, С ={все шары попали в один ящик}.

1.5. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: . Наблюдаемый результат - координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. События А ={абсцисса точки попадания не меньше ординаты}, В ={произведение координат точки неотрицательно}, С ={сумма абсолютных величин координат точки превышает единицу}. Выявить пары совместных событий.

1.6. На отрезке наудачу ставится точка. Пусть х – координата этой точки. Затем на отрезке наудачу ставится еще одна точка с координатой у. Наблюдаемый результат – пара чисел (х, у). События А ={вторая точка ближе к правому концу отрезка , чем к левому}, В ={расстояние между двумя точками меньше половины длины отрезка}, С ={первая точка ближе ко второй чем к правому концу отрезка}. Выявить пары несовместных событий.

1.7. Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат – пара чисел (х, у), где х – время прихода Петра, у – время прихода Ивана (время исчисляется в минутах, начиная от 11 часов). Событие А ={встреча состоялась}.

1.8. (продолжение). В условиях эксперимента задачи 1.7 рассмотреть следующие события: }, В ={Петр ждал Ивана все обусловленное время и не дождался}, С ={Ивану не пришлось ждать Петра}.

1.9. (продолжение). В условиях эксперимента задачи 1.7 рассмотреть следующие события: }, D ={встреча состоялась после 11ч. 30мин.}, E ={Иван опоздал на встречу}, F ={встреча состоялась, когда до истечения часа оставалось меньше пяти минут}.

1.10*. Проводится матч на первенство страны по футболу между командами «Динамо» и «Спартак». Интересующие нас события А ={выиграла команда «Динамо»}, В ={игра закончилась победой одной из команд}, С ={игра закончилась со счетом 3:1}, D ={в игре забито не меньше трех голов}.

1.11*. С помощью специального прибора регистрируется направление и скорость ветра в данном месте Земли. Прибор устроен таким образом, что позволяет определять скорость ветра сколь угодно точно, а регистрация направления ветра возможна лишь с точностью до 2^о. Установить, наблюдаемы ли в данном эксперименте события А ={ },

В ={ },

С ={ }.

1.12. Относительно событий, перечисленных в каждом примере,
указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий (да,
нет).

1) Опыт—бросание монеты; события: А₁= {герб}; А₂ = {решка}.

2) Опыт — бросание двух монет; события: В₁ = {два герба}; В₂ = {две решки}.

3) Опыт — бросание двух игральных костей; события:

4) С₁ = {на обеих костях шестерки};

С ₂ = {ни на одной кости нет шестерки};

С₃ = {на одной из костей шестерка, на другой — нет}.

4) Опыт — передача двух сигналов по каналу связи; события:
D₁ = {хотя бы один сигнал не искажен};

D₂ = {хотя бы один сигнал искажен}.

5) Опыт — передача трех сообщений по каналу связи; события:

Е₁ = {все три сообщения переданы без ошибок};

Е₂ = {все три сообщения переданы с ошибками};

Е₃ = {два сообщения переданы с ошибками, одно без ошибок}.

1.13. Относительно каждой группы событий ответить на вопрос,
являются ли они в данном опыте несовместными (да, нет).

1) Опыт — бросание монеты; события: А₁ = {герб}; А₂ = {решка}.

2) Опыт — бросание двух монет; события:

В₁ = {герб на первой монете};

В₂ = {герб на второй монете}.

3) Опыт — два выстрела по цели; события:
С₀ = {ни одного попадания};

С₁ = {одно попадание};

С ₂ = {два попадания}.

4) Тот же опыт; события:

D₁ = {одно попадание}; D₂ = {один промах}.

5) Опыт — вынимание двух карт из колоды; события:
Е₁ = {обе карты черной масти};

Е₂ = {среди вынутых карт есть дама треф};

Е₃ = {среди вынутых карт есть туз пик}.

6) Опыт — передача трех сообщений по радио; события:
F₁ = {в первом сообщении есть ошибка};

F₂ = {во втором сообщении есть ошибка};

F₃ = {в первом сообщении есть ошибка, во втором — нет}.

1.14. Относительно каждой из групп событий ответить на вопрос, равновозможны ли они в данном опыте (да, нет).

1) Опыт — бросание монеты; события:
А₁ = {герб}; А₂ = {решка}.

2) Опыт — бросание неправильной (погнутой) монеты; те же со­
бытия А₁; А₂.

3) Опыт — выстрел по мишени; события:

В₁ = {попадание}; В₂ = {промах}.

4) Опыт — бросание двух монет; события:

С₁ = {два герба}; С₂ = {две решки}; С₃ = {один герб и одна решка}.

5) Опыт — вынимание наугад одной карты из колоды; события:

D₁ = {черва}; D₂ = {бубна}; D₃ = {трефа}; D ₄ = {пика}.

6) Опыт — бросание игральной кости; события:

Е₁ — {не менее трех очков};

Е₂ = {не более трех очков}.

7) Опыт — по каналу связи передаются в одинаковых условиях три сообщения одинаковой длины; события:

F₁ = {ошибка в первом сообщении};

F₂ = {ошибка во втором сообщении};

F₃ = {ошибка в третьем сообщении}.

1.15. Относительно каждой из групп событий ответить на следую­щие вопросы: образуют ли они полную группу; являются ли несовмест­ными; являются ли равновозможными; образуют ли группу случаев.

1) Опыт — бросание (правильной) монеты; события:

А₁ = {герб}; А₂ = {решка}.

2) Опыт — бросание двух монет; события:

В₁ = {два герба}; В₂ = {две решки}; В₃ = {один герб и одна решка}.

3) Опыт — бросание игральной кости; события:

С₁ = {1 или 2 очка}; С₂ = {2 или 3 очка}; С ₃ = {3 или 4 очка};

С ₄ = {4 или 5 очков}; С₅ = {5 или 6 очков}.

4) Опыт — вынимание наугад одной карты из колоды в 36 листов;
события:

D₁ = {туз}; D₂ = {король}; D₃ = {дама}; D₄ = {валет}; D₅ = {десятка};

D₆ = {девятка}; D₇ = {восьмерка}; D₈ = {се­мерка}; D₉ = {шестерка}.

5) Опыт — выстрел по мишени; события
Е₁ = {попадание}; Е₂ = {промах}.

6) Опыт — передача (в одинаковых условиях) трех сообщений рав­ной длины; события:

F₁ = {искажено первое сообщение};

F₂ = {искажено второе сообщение};

F₃ = {искажено третье сообщение}.

7) Опыт — эксплуатируются два прибора в течение времени τ; события:

G₀ = {ни один прибор не вышел из строя};

G₁ = {один прибор вышел из строя, а другой нет};

G₂ = {оба прибора вышли из строя}.

1.16. Многогранник, имеющий k граней (k > 3) с номерами 1, 2,...
..., k, бросается наугад на плоскость; при этом он падает на ту или другую грань. Построить для этого опыта пространство элементарных
событий и выделить в нем подмножество, соответствующее событию
А = {многогранник упал на грань, номер которой не превышает чис­ла k/ 2}.