а)Первый способ. Вычисление поверхностного интеграла (13.1) сводится к вычислению двойных интегралов по тем областям, которые получаются при проецировании поверхности на координатные плоскости.
Пусть функция непрерывна во всех точках гладкой поверхности которая однозначно проецируется на координатную плоскость в область и её уравнение можно представить в виде . Ориентируем поверхность так, что нормальный к ней вектор составляет острый угол с осью . Интегральная сумма, приводящаяся к поверхностному интегралу, в этом случае будет выглядеть следующим образом: .
В пределе при соответствующих условиях получим преобразование поверхностного интеграла 2-ого рода по переменным и в двойной:
.
Если выбрать другую ориентацию поверхности, тогда вектор нормали будет составлять с осью тупой угол и перед двойным интегралом появится знак «минус».
Аналогично для непрерывных функций и
, где - уравнение поверхности и нормальный вектор составляет с осью острый угол , и , где - уравнение поверхности и нормальный вектор составляет с осью острый угол .
|
|
В общем случае поверхностный интеграл 2-ого рода по гладкой ограниченной поверхности, которая однозначно проецируется в каждую из координатных плоскостей, сводится к трём двойным интегралам, знаки перед которыми выбираются соответственно тому, какие углы составляет выбранный нормальный вектор с осями координат.
.(13.2)
Пример 13.1. Вычислим интеграл , где - часть поверхности ограниченная так, что , если вектор нормали к поверхности составляет острый угол с положительным направлением оси OX.
Решение. Построим часть цилиндра параболического, ограниченную заданными плоскостями (см. рис. 13.3)
Рисунок 13.3 |
Рисунок 18.3 |
взять со знаком «минус».
.
Вычислим . Для этого построим проекцию области на плоскость . Уравнение проекция линии пересечения и на плоскость YOZ: .
Из уравнения поверхности выразим переменную и, подставив в подынтегральное выражение, вычислим интеграл.
.
Вычислим . Для этого построим проекцию области на плоскость . Переменную из уравнения поверхности подставим в подынтегральное выражение и вычислим интеграл.
. Ответ: .
б)Второй способ вычисления поверхностного интеграла 2-ого рода.
Заметим, что если - площадь элементарной части поверхности и нормальный вектор к этой площадке составляет с осями координат углы , то . И тогда
|
|
. (13.3)
То есть поверхностный интеграл 2-ого рода сводится к поверхностному интегралу 1-ого рода. (см. занятие 12)
Отметим, что если уравнение поверхности имеет вид , то единичный нормальный вектор к ней в точке имеет координаты, совпадающие с его направляющими косинусами
, , . (13.4)
Подставив эти выражения в подынтегральное выражение и упростив его, получим интеграл вида .
Таким образом поверхностный интеграл 2-ого рода сведём к поверхностному интегралу 1-ого рода. (см. занятие 12).
Пример 13.2. Вычислим интеграл в условиях примера 13.1, преобразовав его в поверхностный интеграл 1-ого рода (см. (13.3) и (13.4)). Для этого найдём направляющие косинусы единичного нормального вектора к поверхности.
В рассматриваемом примере уравнение поверхности имеет вид и тогда с учётом того, что нормальный вектор составляет острый угол с осью OX. Преобразуем данный интеграл в поверхностный 1-ого рода.
.
Для вычисления получившегося поверхностного интеграла I рода спроецируем σ на плоскость XOY (см. рис. 13.3) и преобразуем интеграл в двойной (см. (12.1):
Из уравнения поверхности следует, что: , и .
Подставим всё в подынтегральное выражение, расставим пределы интегрирования в повторном интеграле и вычислим его.
Получаем .
Ответ: .
Занятие 14.
Векторное поле (определение). Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения. Определение потока векторного поля через поверхность и дивергенция векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для односвязной области. Физический смысл дивергенции. Стоки и источники поля. Соленоидальное векторное поле и его свойства.
ОЛ-1 гл.6,7, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 § 12, п. 12-3.
Практика: ОЛ-6 №№ 2374, 2361, 2365, 2367 или ОЛ-5 №№ 10.95, 102, 103, 105, 108, 145.
Домашнее задание к занятию 14: ОЛ-6 №№ 2362, 2364, 2366, 2368 или ОЛ-5 №№ 10.96, 99, 104, 144, 146.
Векторное поле.
Определение. Если каждой точке некоторой области поставлен в соответствие по некоторому правилу (закону) вектор , то множество этих векторов называется векторным полем.
Задание векторного поля адекватно заданию вектор -функции с областью определения G. Если G - область трёхмерного пространства с введённой в ней декартовой системой координат с ортами , направленными по осям, то задание векторного поля равносильно заданию трёх скалярных функций-координат, каждая из которых зависит от трёх переменных: .
Если G - область на плоскости , то в декартовых координатах скалярное поле задаётся функцией двух переменных , а векторное поле – двумя функциями двух переменных . В этом случае поле называется плоским.
Физические примеры векторных полей: электрическое поле системы электрических зарядов, характеризующееся в каждой точке вектором напряжённости электрического поля ; магнитное поле, создаваемое электрическим током и характеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции ; поле скоростей потока движущейся жидкости, описываемое в каждой точке вектором скорости .
Поле называется дифференцируемым n раз, если функции
дифференцируемы n раз. В дальнейшем будем считать, что рассматриваемое поле дифференцируемо нужное нам число раз.
Определение. Действительная функция , определённая в каждой точке некоторой области , называется скалярным полем .