Ранее было выдвинуто предположение, что вектора m и e линейно - независимы. Предположим обратное, то есть
Таким образом, линейная зависимость векторов m и e означает, что на рынке ценных бумаг сложился исключительный случай, когда эффективности всех видов ценных бумаг одинаковы.
Теорема 3. Если на рынке продаются только ценные бумаги с одинаковой эффективностью, то можно составить оптимальный портфель лишь с такой же эффективностью.
Доказательство:
Достаточно доказать, что решение задачи
существует лишь при
Действительно, рассчитаем эффективность портфеля:
,
Теорема доказана.
С учетом теоремы 3 задача будет иметь вид:
Для решения задачи необходимо чтобы,
Так как
,
то необходимое условие выполнено. Воспользуемся теоремой о множителях Лагранжа:
Получаем систему уравнений:
Отсюда,