Пример 24 Вопросы для самоконтроля по третьему разделу

Вопросы для самоконтроля по девятому разделу

Вопросы для самоконтроля по восьмому разделу

Вопросы для самоконтроля по седьмому разделу

Вопросы для самоконтроля по шестому разделу

Вопросы для самоконтроля по пятому разделу

Вопросы для самоконтроля по четвертому разделу

Вопросы для самоконтроля по третьему разделу

Вопросы для самоконтроля по второму разделу

Вопросы для самоконтроля по первому разделу

1. Дайте определения основным понятиям метрологии.

2. Сформулируйте основные задачи метрологии.

3. Какие функции выполняет метрологическая служба предприятия?

4. Какие единицы физических величин относят к основным?

5. Приведите пример внесистемных единиц.

6. Назовите используемые в технике измерений системы единиц.

7. Назовите основные и дополнительные единицы Международной системы СИ.

8. Запишите обозначения основных единиц международной системы СИ.

1. Как создают модели объектов и процессов.

2. Что такое математическая модель?

3. Назовите модели измерительного процесса.

4. Основные положения, положенные в основу канонической модели.

5. Основные положения, положенные в основу вероятностной модели.

6. Какая из моделей является более общей?

1. Приведите классификацию измерений.

2. В чем отличие прямых измерений от косвенных?

3. В чем отличие совокупных измерений от совместных?

4. Приведите примеры совокупных измеренй.

5. Приведите примеры совместных измерений

6. Приведите классификацию методов измерений.

7. К какому виду измерений можно отнести мостовой метод сравнения?

8. Объясните сущность метода замещения.

1. Что понимают под техническими средствами измерений?

2. Приведите классификацию мер.

3. Приведите классификацию измерительных преобразователей.

4. Приведите классификацию измерительных приборов.

5. Для чего применяются измерительные установки?

6. Назначение измерительно-вычислительных комплексов.

7. В чем отличие метрологических характеристик от неметрологических?

8. Перечислите основные метрологические характеристики средств измерения.

9. Какие характеристики относят к нормируемым метрологическим?

10. Приведите пример неметрологических характеристик приборов.

1. Приведите классификацию погрешносте измерения.

2. Выделите погрешности средств измерения из общей классификации погрешностей.

3. Дайте определение систематической составляющей погрешности.

4. Назовите причины появления систематической погрешности.

5. Назовите методы исключения систематических погрешностей.

6. Для чего вводится поправка в результат измерения?

7. Дайте определение случайной погрешности измерения.

8. Какие законы распределения случайных величин Вам известны?

9. Какая связь между случайной величиной и случайной погрешностью?

10. Аксиомы случайных погрешностей.

11. Запишите выражение для нормального закона распределения погрешностей.

12. Назовите числовые характеристики законов распределения.

13. Что характеризуют начальный и центральные моменты закона распределения.

14. В чем суть интервальной оценки результата измерения?

15. Как используют нормированную функцию Лапласа?

16. Назовите точечные характеристики погрешностей измерения.

17. Критерии обнаружения промахов.

18. Запишите выражение доверительного интервала для истинного значения измеряемой величины.

19. Что такое равноточные измерения?

20. Что такое неравноточные измерения?

21. Какие параметры выборки используют для определения “веса”?

22. Какой критерий используют для определения принадлежности двух выборок одной генеральной совокупности?

1. Какие измерения называются косвенными?

2. Как находят систематическую погрешность косвенного измерения?

3. Как находят случайную погрешность косвенного измерения?

4. Как находят значение измеряемой величины?

1.Что такое неисключенная систематическая погрешность?

2. Как находят границы неисключенной систематической погрешности?

3.Запишите закон суммирования погрешностей.

5. Как находят границы результирующей погрешности?

1.Как оценивают погрешность результата прямого однократного измерения?

2. Что означает обозначение класса точности прибора в кружочке?

3. Что означает обозначение класса точности прибора одним числом?

4. Что означает обозначение класса точности прибора в виде дробного числа?

1.Приведите пример записи результата измерения однократного измерения.

2.Сколько по ГОСТу форм записи пезультатов измерения.

3.Объясните применение каждой формы записи результатов измерений.

4. Какую форму записи результата используют наиболее широко и почему?

3. Разбор решения типовых задач

Пример 1

Погрешность измерения напряжения DU распределена по нормальному закону, причем систематическая погрешность DU_с равна нулю, а s равно 50 мВ.

Найдите вероятность того, что результат измерения U отличается от истинного значения напряжения U_и не более чем на 120 мВ.

Решение. Из выражения

Р_д = Р [ - D₁ £ D £ D₂ ] = ½ { Ф [ (D₂ -D_с)/s ] + Ф [ (D₁ + D_с)/s ] } (1)

при D_с = 0 и D₁ = D₂

следует, что

Р_д = Р [ çD ç £ D₁ ] = Ф (D₁ / s). (2)

Воспользовавшись (2) и найдя по таблицам интеграл вероятности Ф (z), получим

Р_д = Р [ ç U - U_и ç £ 120 ] = Ф (120 / 50) = 0,984.

Пример 2

Погрешность измерения напряжения DU распределена по нормальному закону, причем систематическая погрешность DU_с равна 30 мВ, а s равно 50 мВ.

Найдите вероятность того, что результат измерения U отличается от истинного значения напряжения U_и не более чем на 120 мВ.

Решение. Если в результате измерения U не вносить поправку, учитывающую систематическую погрешность, то для нахождения искомой вероятности можно воспользоваться соотношением (1):

Р_д = Р [U - D₂ £ U_и £ U + D₁ ] = Р [- D₁ £ DU £ D₂] = ½ {Ф [(120 - 30) / 50] + Ф [(120 +30)/50]} =0,963.

Если в результат измерения U внести поправку, т.е. считать, что

U_испр = U - DU_с,

то

Р_д = Р [U_испр - D₂ £ U_и £ U_испр + D₁ ] = Р [- D₁ £ DU - DU_с £ D₂] = Ф (120 / 50) = 0,984.

Нетрудно заметить, что для нормального закона распределения погрешностей при одинаковом доверительном интервале доверительная вероятность больше в том случае, когда DU_с равна нулю или внесена соответствующая поправка в результат измерения.

Пример 3

В результате поверки амперметра установлено, что 70% погрешностей результатов измерений, произведенных с его помощью, не превосходят ± 20 мА. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, определить среднюю квадратическую погрешность.

Решение. Воспользовавшись (2), получим

Р [ çD ç £ 20 ] = Ф (20 / s) = 0,7.

Найдя значение функции Ф (z) по таблицам, находим значение аргумента:

20 / s = 1,04,

откуда s = 19 мА.

Пример 4

Погрешности результатов измерений, произведенных с помощью амперметра, распределены по нормальному закону; s равно 20 мА, систематической погрешностью можно пренебречь. Сколько независимых измерений нужно сделать, чтобы хотя бы для одного из них погрешность не превосходила ± 5 мА с вероятностью не менее 0,95?

Решение. Вероятность того, что при одном измерении погрешность не превзойдет ± 5 мА, равна

Р = P [ çD ç < 5 ] = Ф (5 / 20) = 0,197.

Вероятность того, что при n независимых измерениях ни одно из них не обеспечит погрешности, меньшей ± 5 мА, равна

(1 – Р)ⁿ = 0,803ⁿ.

Следовательно,

0,803ⁿ £ 0,05,

откуда

n ³ (lg 0,05 / lg 0,803) = 13,6.

Так как число измерений n может быть только целым, то

n ³ 14.

Пример 5

Сопротивление R составлено из параллельно включенных сопротивлений R1 и R2, математические ожидания и средние квадратические отклонения которых известны: m₁ = 12 Ом; m₂ = 15 Ом; s₁ = 1 Ом; s₂ = 0,5 Ом. Найдите математическое ожидание m_R и среднюю квадратическую погрешность s_R сопротивления R.

Решение. При параллельном соединении

R = R1 R2 / (R1 + R2).

Воспользуемся формулами для нахождения математического ожидания m_у и среднего квадратического отклонения s_у

m_у = F (m_у1, m_у2, …, m_уn);

n

s_у = Ö å (¶F / ¶y_i)²_m s²_yi,

i = 1

где (¶F / ¶y_i)_m - частная производная функции F (у₁, у₂, …, у_n) по y_i, взятая в точке (m_у1, m_у2, …, m_уn).

Тогда

m_R = m₁ m₂ / (m₁ + m₂) = 12× 15 / (12 + 15) = 6,67 Ом.

Для нахождения s_R вычислим сначала частные производные:

(¶R / ¶R1)_m = (¶R2 / R1 + R2)²_m =(m₂ / m₁+ m₂)² = 0,31,

(¶R / ¶R2)_m = (¶R1 / R1 + R2)²_m =(m₁ / m₁+ m₂)² = 0,20.

Далее получим

s_R = Ö (¶R / ¶R1)²_m s²₁+ (¶R / ¶R2)²_m s²₂ = Ö 0,31² × 1² + 0,2² × 0,5² = 0,33Ом.

Пример 6

Сопротивление Rх измерено с помощью четырехплечего моста и рассчитано по формуле

Rх = R2 R4 / R4.

Найдите относительную среднюю квадратическую погрешность результата измерения, если относительные средние квадратические погрешности сопротивлений R2, R3 и R4 соответственно равны 0,02; 0,01 и 0,01%.

Решение. Относительная средняя квадратическая погрешность сопротивления R_i равна

s_0i = (s_i / R_i) 100%,

где s_i – средняя квадратическая погрешность сопротивления R_i.

Воспользовавшись формулой среднего квадратического отклонения s случайной погрешности результата косвенного измерения

n

s = Ö å (¶F / ¶y_i)² s²_i,

i = 1

где – среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата прямого измерения Y_i, а частная производная берется в точке у₁, у₂, …, у_n, соответствующей результатам прямых измерений, получим

s_Rх = Ö å (¶F / ¶R_i)² s²_i.

i = 2

Для данной функции F

(¶F / ¶R₂)² =(R₃ / R₄)² = R²_х / R²₂.

Аналогично

(¶F / ¶R₃)² = R²_х / R²₃, (¶F / ¶R₄)² = R²_х / R²₄.

Тогда

4 4

s_Rх = Ö å (R²_х / R²_i) s²_i = R_х Ö å (s²_i / R²_i),

i = 2 i = 2

откуда

s_ох = Ö å s²_oi = Ö 0,02² + 0,01² + 0,01² = 0,025%.

i = 2

Пример 7

Сопротивление Rх измерено с помощью четырехплечего моста и рассчитано по формуле

Rх = R2 R4 / R4.

Найдите относительную систематическую погрешность D_с,ох результата измерения, если относительные систематические погрешностиD_с,о2, D_с,о3, D_с,о4 сопротивлений R2, R3, R4 соответственно равны + 0,02; - 0,01 и – 0,01%.

Решение. Относительная систематическая погрешность D_с,оi сопротивления R_i равна

D_с,оi = (D_сi / R_i)100%,

где D_сi – систематическая погрешность сопротивления R_i.

Воспользовавшись формулой, связующей систематическую погрешность D_с результата косвенного измерения с систематическими погрешностями D_с1, D_с2,…, D_сn соответствующих прямых измерений

n

D_с» å (¶F / ¶y_i) D_сi,

i = 1

получим

D_сх = å (¶F / ¶R_i) D_сi.

i = 2

Для данной функции F нетрудно получить

¶F / ¶R₂ = R_х / R₂, ¶F / ¶R₃ = R_х / R₃, ¶F / ¶R₄ = R_х / R₄.

Тогда

D_с,ох = R_х (D_с2 / R₂ + D_с3 / R₃ - D_с4 / R₄),

откуда

D_с,ох = D_с,о2 + D_с,о3 - D_с,о4 = 0,02 – 0,01 + 0,01 = 0,02%.

Пример 8

В цепь с сопротивлением R = 100 Ом для измерения ЭДС Е включили вольтметр класса 0,2 с верхним пределом измерения 3 В и внутренним сопротивлением R_в = 1000 Ом. Определите относительную методическую погрешность измерения ЭДС.

Решение. Напряжение, которое измеряет вольтметр, определяется по формуле

U_в = [Е / (R + R_в)] R_в.

Относительная методическая погрешность измерения Е равна

d_Е = [(U_в - Е) / Е] 100 = - [ R /(R + R_в)] 100 = - [100 / (100 + 1000)] 100 = - 9,1%.

Пример 9

Необходимо измерить ток I = 4 А. Имеются два амперметра: один класса точности 0,5 имеет верхний предел измерения 20 А, другой класса точности 1,5 имеет верхний предел измерения 5 А. Определите, у какого прибора меньше предел допускаемой основной относительной погрешности и какой прибор лучше использовать для измерения тока I = 4 А.

Решение. Пределы допускаемых основных погрешностей равны:

при измерении амперметром класса 0,5

DI₁ = gI_н = ± (0,5 × 20 / 100) = ± 0,1 А;

при измерении амперметром класса 1,5

DI₂ = gI_н = ± (1,5 × 5 / 100) = ± 0,075 А.

Наибольшие относительные погрешности прибора равны:

при измерении заданного тока амперметром класса 0,5

d₁ = (DI₁ / I) 100 = ± (0,1 / 4 ×100) = ± 2,5%;

при измерении зажданного тока амперметром класса 1,5

d₁ = (DI₂ / I) 100 = ± (0,075 / 4 × 100) = ± 1,9%.

Следовательно, в данном случае при измерении тока I = 4 А лучше использовать прибор класса 1,5 с верхним пределом измерения 5 А вместо прибора класса 0,5 с верхним пределом измерения 20 А.

Пример 10

Верхний предел измерений образцового прибора может превышать предел измерения поверяемого прибора не более чем на 25%. Проверить правомерность выбора образцового электроизмерительного прибора, если его верхний предел измерения Х_Ко превышает верхний предел измерения поверяемого прибора Х_Кп класса 2,5 (К_п) в 2 раза?

Решение. Проверка производится по соотношению классов точности при заранее установленном значении этого соотношения (m), например, 1: 5.

Класс точности образцового прибора

К_о £ m (Х_Кп / Х_Ко) К_п.

Для нашего случая Х_Кп = Х_Ко / 2; К_о £ 1 / 5 × 1 / 2 × 2,5 £ 0,25.

Проверка прибора класса 2,5 возможна по прибору класса 0,2 и при соотношении значений верхних пределов измерения 1: 2.

Пример 11

Поверяется вольтметр типа Э421 класса точности 2,5 с пределами измерения 0 – 30 В методом сличения с показаниями образцового вольтметра типа Э59 класса точности 0,5. Заведомо известно, что погрешность образцового прибора находится в допускаемых пределах (± 0,5% от верхнего предела измерения), но максимальна. Как исключить влияние этой погрешности образцового прибора на результат поверки, чтобы не забраковать годный прибор?

Решение. Погрешность поверяемого прибора может быть в пределах допуска, определяемого по формуле

Dп_доп = Кп × Хп / 100,

где Кп – класс точности поверяемого прибора; Хп – нормируемое значение для поверяемого прибора (верхний предел измерения).

В то же время возможная погрешность образцового прибора может быть найдена аналогично:

Dо_доп = Ко × Хо / 100.

Эта погрешность может как складываться, так и вычитаться из допуска проверяемого прибора. Если ее заранее учесть в погрешности поверяемого прибора, то можно гарантировать, что годный прибор не будет забракован, т.е. установить новый допуск на показания поверяемого прибора

D¢п_доп = ± (Dп_доп - Dп_доп) или

D¢п_доп = ± (Кп × Хп / 100 – Ко × Хо / 100) = ± 1/100 (Кп × Хп – Ко × Хо) = ± 0,01 (Кп × Хп – Ко × Хо).

В нашем случае этот допуск будет равен D¢п_доп = ± 0,01 (2,5 × 30 – 0,5 × 30) = ± 0,6 В, а без учета погрешности образцового прибора Dп_доп = ± (2,5 × 30) / 100 = ± 0,75 В.

На практике, при совпадении верхних пределов измерений поверяемого и образцового приборов достаточно из значения класса точности поверяемого прибора вычесть значение класса точности образцового прибора, полученное значение будет вновь выбранным допускаемым значением для погрешности поверяемого прибора: Кп¢ = Кп – Ко = 2,5 – 0,5 = 2%.

Тогда D¢п_доп = (Кп × Хп) / 100 = (2× 30) / 100 = ± 0,6 В.

Пример 12

При поверке ваттметра на постоянном токе действительное значение мощности Р измеряют потенциометром. При этом отдельно измеряют (с помощью шунта) ток в последовательной цепи ваттметра и (с помощью делителя) напряжение в параллельной цепи. Известно, что пределы допускаемых погрешностей для элементов, участвующих в измерениях, следующие: dп потенциометра 0,005%; dн нормального элемента 0,005%; dд делителя напряжения 0,005%; dш шунта 0,01%. Определите относительную погрешность измерения мощности.

Решение. Действительное значение мощности определяется в соответствии с зависимостью

Р = Uд Uш / Кд Rш,

где Uд, Uш – напряжения на делителе и шунте; Кд – коэффициент деления делителя; Rш – сопротивление шунта.

Погрешность измерения напряжения складываетсяиз погрешности потенциометра и погрешности нормального элемента.

dР = Ö (2dп)² + (2dн) ² + (dд) ² + (dш) ² = Ö (2 0,005) ² + (2 0,005) ² + 0,005² + 0,01² = 0,018%.

Пример 13

Двумя пружинными манометрами на 600 кПа измерено давление воздуха в последней камере компрессора. Один манометр имеет погрешность 1% от верхнего предела измерений, другой 4%. Первый показал 600 кПа, второй 590 кПа. Назовите действительное значение давления в камере, оцените возможное истинное значение давления, а также погрешность измерения давления вторым манометром.

Решение. Дейстительное значение А_д = 600 кПа; истинное значение А_ист ориентировочно лежит в пределах (600 ± 6) кПа. Абсолютная погрешность измерения этого давления вторым манометром DА_изм = А_изм – А_д, отсюда DА_изм = 590 кПа – 600 кПа = - 10 кПа. Относительная погрешность

d = (DА_изм ×100) / 600 % = (- 10 × 100) / 600 % = - 1,7%.

Пример 14

К зажимам элементов с Е = 10 В и r = 1 Ом подсоединим вольтметр с сопротивлением R_и = 100 Ом. Определите показания вольтметра и вычислите абсолютную погрешность его показания, возникновение которой обусловлено тем, что вольтметр имеет не бесконечно большое сопротивление; классифицируйте погрешность.

Решение.

U = Е [1 – r / (r + R_и)]» 9,9 В.

Если R_и = ¥, r / (r + R_и) = 0, то U = Е = 10 В.

Тогда D = 9,9 В – 10 В = - 0,1 В.

Измерение прямое и абсолютное, непосредственной оценки, так как со шкалы вольтметра сняты показания, выраженные в единицах измеряемой величины; однократные, так как результат получен путем одного измерения; статическое, так как ЭДС в процессе измерения не изменялась. Погрешность систематическая.

Пример 15

В цепь с сопротивлением R = 49 Ом и источником тока с Е = 10 В и R_вн = 1 Ом включили амперметр сопротивлением R_I = 1 Ом. Определите показания амперметра I и вычислите относительную погрешность d его показания, возникающую из-за того, что амперметр имеет определенное сопротивление, отличное от нуля; классифицируйте погрешность.

Решение.

I = Е / (R_вн + R + R_I) = 0,166 А» 0,17 А.

Если R_I = 0, то I_о = Е / (R_вн + R) = 0,2 А.

Тогда d = [(0,17 – 0,2) / 0,2] × 100% = - 15%.

Пример 16

Погрешность измерения одной и тй же величины, выраженная в долях этой величины: 1 × 10^-3 – для одного прибора; 2 × 10^-3 – для другого. Какой из этих приборов точнее?

Решение. Точности характеризуются значениями, обратными погрешностям, т.е. для первого прибора это 1 / (1 ×10^-3) = 1000, для второго 1 / (2 × 10^-3) = 500; 1000 > 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в 2 раза.

К аналогичному выводу можно прийти, проверив соотношение погрешностей: (2 × 10^-3) / (1 × 10^-3) = 2.

Пример 17

Определите относительную погрешность измерения в начале шкалы (для 30 делений) для прибора класса 0,5, имеющего шкалу 100 делений. Насколько эта погрешность больше погрешности на последнем – сотом делении шкалы прибора?

Решение. Для прибора класса 0,5 относительная приведенная погрешность (на 100 делений шкалы):

d = (0,5 × 100) / 100 = 0,5%.

Относительная погрешность измерения в начале шкалы (на 30 делений шкалы):

d_зо = (0,5 × 100) / 30 = 1,6%.

d_зо > d_пр более чем в 3 раза.

Пример 18.

Определите действительное значение тока I_д в электрической цепи, если стрелка миллиамперметра отклонилась на a_о = 37 делений, его цена деления С_Iо = 2 мА/дел., а поправка для этой точки D = - 0,3 мА.

Решение.

Iд = С_Iоa_о + D.

Подставив числовые значения, получим

I_д = 2× 37 + (-0,3) = 73,7 мА.

Пример 19

Можно ли определить измеряемую величину, зная, с какой абсолютной и относительной погрешностями она измерена?

Решение. Абсолютная погрешность

D = gА_N / 100,

относительная погрешность

d = gА_N / А,

где g – допускаемая погрешность, приведенная к нормируемому значению А_N; А – измеренное значение.

100D = gА_N; dА = gА_N; 100D = dА.

Откуда

А = 100D / d.

Если мы измерили омметром какую-то величину с d = 10% и D = 10 Ом, то величина эта

А = - (100 × 10) / 10 = 100 Ом.

Пример 20

При определении диаметра ведущего валика ручных часов допущена ошибка ± 5 мкс, а при определении расстояния до Луны допущена ошибка ± 5 км. Какое из этих двух измерений точнее? Диаметр часового вала d=0,5 мм.

Решение.

Найдем.

Т.к диаметр часового вала d= 0,5 мм, то

= = =10^-2=1%

1. Расстояние до Луны L»4*10⁵км

2. Найдем.

= =1.2*10^-5»0.001%

ВЫВОД: Как видно второе измерение значительно точнее первого

(приблизительно на три порядка)

Пример 21

Измерение падения напряжения на участке электрической цепи сопротивлением R=4 Ом осуществляется вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределом диапазона измерений 1,5 В. Стрелка вольтметра остановилась против цифры 0,95 В. Измерение выполняется в сухом отапливаемом помещении с температурой до 30°С при магнитном поле до 400 А/м. Сопротивление вольтметра R_v=1000 Ом. Рассчитать погрешности.

Решение.

1. Рассчитаем предел d.

Основная погрешность вольтметра указана в приведенной форме. Следовательно при показании вольтметра 0,95 В предел d на этой отметке шкалы:

d = ±=±0.7894»0.79%

2. Рассчитаем дополнительную погрешность.

Дополнительная погрешность из-за влияния магнитного поля равна:

d_доп1 = ±0,75%

Дополнительная температурная погрешность, обусловленная отклонением температуры от нормальной (20 °) на 10 °С будет равна:

d_доп2=±0,3%

3. Найдем полную инструментальную погрешность.

Полная инструментальная погрешность в этом случае равна:

Q(Р)=к

При доверительной вероятности Р=0,95 коэффициент к=1,1, число слагаемых m=3. Отсюда:

d=1.1*=±1.243» ±1.2%

В абсолютной форме: D=±0.011 В

4. Найдем погрешность метода измерения.

Эта погрешность определяется соотношением между сопротивлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра R_v.

Методическую погрешность в абсолютной форме можно вычислить по формуле:

D_мет= - U_X= - = - 0.004 В

Оцененная методическая погрешность является систематической составляющей погрешности измерений и должна быть внесена в результат измерения в виде поправки +0,004 В.

5. Записываем окончательный результат измерения.

Окончательный результат измерения падения напряжения должен быть представлен в виде:

U=0.954 В; D=±0.011;P=0.95

Пример 21

Для определения объема параллелепипеда сделано по n=10 измерений каждой его стороны. Получены следующие средние значения и средние квадратичные ошибки (в мм):

`a = 4,31 `S_a = 0.11

`b = 8,07 `S_b = 0.13

`c = 5,33 `S_c = 0.09

Вычислить ошибку измерения.

Решение.

1. Вычислим относительную погрешность.

Удобно воспользоваться формулой для относительной погрешности:

V=abc

S_V¢==0.035

`v=`a`b`c=185мм.

2. Зададим сначала доверительную вероятность и по ней определим доверительный интервал. Возьмем a=0,8

По таблице при n=10 определяет коэффициент Стьюдента:

t_0.8;10=1.4.

3. Далее из формулы t_a;n= находим

DV= t_a;n*S_V¢

4. Отсюда DV=185*0,049=9мм³

5. Окончательно записываем:

При a=0,8 V= (185±9)мм³

E_V=DV/`V*100%=5%

Пример 22

По сигналам точного времени имеем 12ч.00мин, часы показывают 12ч.05 мин. Найти абсолютную и относительную погрешность.

Решение:

1. Найдем абсолютную погрешность:

Dх=12ч.05мин – 12ч.00мин=5минут

2. Найдем относительную погрешность:

g_отн = *100%=0.7%

Тема: Обработка данных с однократными измерениями.

Пример 23

Выполнено однократное измерение напряжения на участке электрической цепи сопротивлением R=(10±0.1) Ом с помощью вольтметра класса 0,5 по ГОСТ 8711-77 (верхний предел диапазона 1,5 В, приведенная погрешность 0,5%). Показания вольтметра 0,975 В. Измерение выполнено при температуре 25°С при возможном магнитном поле, имеющем напряженность до 300 А/м.

Решение.

1. Для определения методической погрешности найдем падение напряжения.

Методическая погрешность Dм определяется соотношением между сопротивлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра R_v=900 Ом (которое известно с погрешностью 1%). Показание вольтметра свидетельствует о падении напряжения на вольтметре, определяемом как:

U_V =» 0.975

2. Найдем методическую погрешность.

D_м = U_V-U= -» - 0.011 В

3. Введем поправку.

После введения поправки получим:

`U=U_V-x_м =0.975+0.11=0.986

4. Оценим неисключенную методическую погрешность.

Неисключенная методическая погрешность (т.е погрешность введения поправки) определяется погрешностями измерений сопротивления цепи и вольтметра, которые имеют границы 1%. Поэтому погрешность поправки оценивается границами 0,04%, то есть очень мала.

5. Найдем инструментальную погрешность.

Инструментальная составляющая погрешности определяется основной и дополнительной погрешностями.

Основная погрешность оценивается по приведенной погрешности и результату измерения:

d₀ = =0.77%

Дополнительная погрешность до влияния магнитного поля лежит в границах Q_н=±0,5%.

Дополнительная температурная погрешность, обусловленная отклонением температуры от нормальной (20 °) на 5 °С лежит в границах Q_т=±0,5%.

Доверительные границы инструментальной погрешности при Р=0,95 находят по формуле:

Q₀=1.1*=1.1%

В абсолютной форме Q₀=0,011.

6. Окончательный результат.

После округления результат принимает вид:

U=(0,99 ± 0,01) В; Р=0,95

Тема: Обработка данных с многократными измерениями.

В результате двух параллельных определений были получены данные, характеризующие содержание хрома в эталоне: 4,50% и 4,70%. Требуется оценить a - истинное содержание хрома в эталоне. Надежность Р=0,9.

Решение:

1. Найдем точечную оценку:

`х = (4,50+4,70)/2=4,60 %

очевидно, что при двух измерениях утверждать, что a»4,60 слишком рискованно.

2. Найдем доверительный интервал для a:

S= = =0.14

3. При Р=0,9 по таблице распределения Стьюдента при к=2-1=1 степени свободы находим соответствующее значение t = 6,31.

Следовательно с вероятностью 0,9 (90%) истинное значение хрома заключено в интервале:

(4,60-6,31*; 4,60+6,31*)

Пример 25

С помощью оптиметра выполнено 10 последовательных измерений калибра – пробки и получены указанные в таблице указанные в таблице значения x_i:

i	Xi
	29,947
	29,968
	30,076
	30,052
	29,940
	29,962
	29,995
	30,015
	30,055
	30,060